DU TRIANGLE
20, 1° Le llléorème précédent renferme cette propriété importaote <lu
quadraùgb complet, dont noua ne pouvons donner ici que l'énoncé :
A, B, C, D étant quatrepoinls d'un m^e plan, on a l'équipollencK
AB.CD + AD.BC-i- AC.DB =o;
autrement dit, les produits kR.ÇJi, AD.BC, AC.DB -loni 6<jmpoUenU au.T, trois côtés d'un triangle.
a° Appelons triangle associé à un quadra/igle complet lo triangle dont les côtés ont pour vaLurs numériques les produits des côtés oppu ses du quadrangle. On voit que ce triangle ofat semblable d chacun de triangles podaires ou métabarmoniques de 1 un des sommets du q«n drangle par rapport au trnnule des trcis nuties sommets Au n" 2i0 it a été donné une au tie consti union d un tnanole sembhble bu triangle
Nous laissons au lecteur le soin de démontrer le théorème suivant: La forme du triangle associé à an quadraiigle complet ne change pas, si l'on soumet les sommets de ce quadrangle à une transformation par rayon.! vecteurs réciproques.
3° Soient Sa, Si, Se, S,i les aires dos triangles BCD, CDA, DAB, ABC, et soient (ta, i^b, \^c, Crf î^s puissances des cercles circonscrits à ces triangles, respectivement par rapport aux points A, B, C, D; enfin, désignons par T l'aire du triaiigîe associé au quadraiigle AB(;d, c'est-i.dire la quantité (i28)
1 /(„ ,+ È fi + c~;)(Z::7r^. -H /. |3 + <T Y )(«s - 6 [j H- r Y ) ( ^ a + ^.p ,- „ -. ).
Nous avons trouvé ci-dessus (N.,19) les relations
BiCi CiA, AJi, jj-r/ ^"^ a^ ~ Ù'I^ - c-t ~ «[iY*
11 en résulte que
B,(:,.CiAi,AiBi (i^;
Les triangles ABC, A|li|Ci étant inscrits dans lo môme corde, la propositiou du n° -128 (i°) donne
Les relations (4) donnent encore
U. «t DE C. - Tr. de Gé^m. (1" Pai-tie). 39
En eombinanf les égalités (5) et (6), on voit (juo
Ijôs équations (7) Bont dues à vonStouiHJ.dc Crelie, t. 57, p. 8S.)
21 . Noue appelons centre métaharmvnique de deux triangles ABC, .V'B'C, lin point D dn plaa ABC, tel que le triangle métaharmonique ou podaire da ABC par rapport à ce point soit semblable à A'B'C.
Soit D,- l'inverse (N.,9 et miv.) du point D dans le triangle ABC; les côtés du Lrianglo podairs de D étant per pond ieul aires ans droites AD;, BD,, OiV, Di ost io métapôlo (N.,14 et .wic.) do ABC, A'B'C.
Désignons par D(, K; los deux métapoles des triangles donnés ; les inverses D, E de ces points dans le triangle ABC sont les centres métaharmoniquQs do ABC, A'B'C,
Lepremier centre métaliarmoiwjue D est à l'intérieur du cercle AlSC; ou peut le déterminer par i'iotorsection dos circonférences des segments capables des angles A -+- A', B -1- B', C 4- C dcerils sur BC, CA, AB vers l'intérieur du triangle ABC (N.,19, 3"). Si la somms A -1- A' est supcriouro à ilto°, lo point D se trouve dans la région! {N.,1) et le segment déficit sur 8C est caimltle de l'angle A-hA' — rSo",
Le second centre mélakeirmomque E est à l'extérieur du cercle ABC. Il appartient ans circonférences des segments capables des anglesA ~ A', B—B', C — C décrits sur BC, GA, AB vers l'intérieur du triangle AEC. Si la différence A — A' ost négative, on décrit sur BC, vers l'extérieur du triangle ABC, un segment capable de l'angle A'— \.
Le triangle mélaharmonique et le Lrianglo podaire du premier centre D par rapport au triangle ABC sont de même sens que ce dernier ; ceux (lu second centre E ont une orientation différcnlo.
THÉORÈME
22. Siiiem I>, E li^s deux centres méta/iafmoiiiqi par rapport
'le ABC 'le A'B'C IJig. 17) : 1° Le-' rajoiis vecteurs de D proportlonneU à ceux de E; 1° Les points D, K divisent karmoniijuement un même diamètre de la circonfdrence ABC.
1° Soient XYZ, X'Y'Z' les triangles podaires du
s points l>, J
!. On a
YZ
A!) ISD Ci)
rZ' A!!
Iiiî
CK
^° Soieiil i',Q(/t^: i8)los points qui divisent !e segment DE harmoniquement dans le rapport yi^- • La eirconféronee décrite sur PQ comme diamètre passe pav À, B, C (187).
Scoi.iE.
S8. l'LosdroitesdeSimson, X."Y°Z''etX°'Y"'Z'"i/(^'. iM), des points P
eiQ par rapport au iritingle àliC divisoiil les S(
MitsX\',YY', ZZ', addi-
ijSa
.DP
livcaient et soiistraclivemont, dans le rapport ^ = y^'î "^oncce sont
les droUos doubles des triangles inversement semblables XYZ, X'Y'Z'; leur inLorsBClion F est le point double do ces triangles. On pont dÉmon- Irer que V est au milievi de la distance des points D^, E(, inverses de .0, E par rapport au tiiunglo ABC, et qu'il appartient à la circonférence des neuf points.
a° Trouver c/aiit le plan du Iriaiigh ABC uii point dont lav dùtrncei a ^ o e oen p opo o e aux nonb e do é l n
te p ob eme d ap es ce q écède adm
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poiiUs f.i et E (réels ou uuasinaire^), qai résolvent le problème propose
Comme elles sont onliogonales à la ciroonffirence ABC (383), Iciir corde commune passe par le centre do celte courbe et est divisée harmoniquemont ptu- cette ligne.
UËOUËTItlR DU XHIANGLE. I.;ôà
Soient M, M' los points qui pai'tagont GA dans le rapport /( : /. Les droites AL, Bîii, CN se coupent en un même point P qui a pour coordonnées barycontrîqu es j> —I -; les points L', M', N'sout situés sar mie
môme droite />, polaim trilinéaira de P. Les cercles qui ont pour diamètres respectivement 1-.L', MM', NN' ont même axe radical DE; kurs centres L", M", N", d'après une propriété des divisions harmoniques, divisent BC, CA, AB dans les rapports fw*:/j', imi', P-.m^; la droite L"M"N" est perpendiculaire au milieu du segment DE, et a pour coordonnées P, m*, «*-
ai. Deux points D, E dont les distances aux sommets du triangle Fondamental sont proportionnelles aux mûmes nombres, l, m, n, sont dits tripolacrematit associes par rapport à ce triangle.
25. SoientA', B',C'iesmilieus des côtés du triangle fondamental ABC. Les isogonales des médianes AA', BB', CC'sout appelées symÉdianes du triangle ABC; elles concourent en un même point K, inverse du centre de gravité G (N., 10) ; K est le contre des symédUuies, ou le point de Lenwine (') de ABC.
ta sjmédieine AK est le lieu des milieux dos transversales antiparallèle-r à BC par rapport à l'angle BAC {Jig. 20). Car, si l'on retourne le triangle BAC autour de la bissectrice AI, BC devient antiparallèle j't sa direction primitive, et AA' coïncide avec AK.
Les conjuguées harmoniques des s/médianes AK, BK, CK. par rapport aux angles A, B, C du triangle fondamental coïncident avec les tangentes menées par A, B, C au cercle circonscrit. Cette propriété résulte de la précédente; car les tangentes sont parallèles aux transversales antiparallèles (338).
Désignons par KaKiKc le triangle formé par les tangentes, par Ki, Kj, Kj les points do rencontre des symédianes AK, BK, CK avec B(', CA, AB, Les points Ka, Ko, Kc, pÛ'es des cordes BC, CA, AB du cercle ABC, senties associés de K(N., 6); les triangles ABC, K^KiHc, KjKjK, ont, deux à deux, le même axe dliomologie/fi^a^j. Cet axe est la polaire triiinéaire de K ; on l'appelle souvent droite de Lemoiue de ABC.
(■) Maiii-Lce (fOougne, Nauvellei Amlalea de Mntkimatiques, l88'|.
Confirés de Ljoii, 187Î, et nouvelles JitnaUa de Mathématiques, 1873.
Les nombi-eux travaux de M. E. Lemaine permettent <te le regai'der conuiiu rinltiuteur de la nouvelle Géoiuâtrie du triangle. 11 it'cst <[no juste de citei', ù cûlé de lui, MM. H. Bi-oeard ot J. Ncubefg.
