C,A, -> AB
Ces circonférences sont appelées les circonfirences adjointes (ABl, (IIC), (CA).
Le point i!' eal à l'intersection des circonférences adjointes (BA), (BC), (AC).
ii, ii' sont les points de Brocard du triangle ABC.
a" il est le premier métapole des triangles ABC, CAB; £i', celui des triangles ABC, BCA (N., 14, IS).
Soient {fig. a5) Q,, a, les points de rencontre de la droiie Ali av.ec le eôté BC et avec ie cercle adjoint BfiC. Lo triangle aBG étant inversement semblable à CAB, la droite aC est parallèle à AB, et la droite aB touche le cercle ABC. Il résulte de là
aC )in lill, BA
C^a^ A£i (^ Biy| fiï ÛiA ~ b^ ' UjB ~ (,■* ' ii'i C ~ is '
Ainsi, les coordonnées harycentriques des points Si, ii' sont
luitrs coordonnées normales ont pour expressions Kb' c'a]- U''«''j
- Tr. de Géom. (1" Partie).
466 NOTii m,
3^ En eoiiipnraûl ka coordoniiôes barycentriquoa des points K, û, £1', oa a une construction trèa simple pour déduire les deux derniers ]ioiiits du premier : les droites Kit2j, Ksiiijlîjiis sont parallèles à CA, AS, BC;les droites Kifi',, Ksfl;, K,i!'i sont parallèles & CA, AU, BC.
if La coJ-de liù' du cei'cle (01£) est perpnitdwidmre sw le dUiirièlre OK ei exi vue dii point 0 sous /'«/igfo a V. lin effet, les angles IJ Ai K, KA.|£!' sont ùgaux à V.
THÉORÈME
4fi. Soient ¥a, F/,, t'c "■"'* figiu-es directement semUablas, coiistmi/et sur les côtés BC, GA, AJB du triangle ABC comme segments homologues. Les points k.i, Ba, Cî da cercle (OK) sont les centres de siinilitude de F/,
Soit a la seconde extrémilé de la corde syraédiane AK. OAj étant perpendiculaire ù AK, As est le rnilieu de Aa; BAj et BKi sont donc la môdiaiie et la symodiane du triangle BAo; d'oùoïig'feAltAs = CBa = CAo:,
GÉOMÉTRIE nu THIANGLB, 46?
et, par analogie, angle ACAa = BCk = BAa. Les triangles GAAi, ABAj sont donc directement semblables, et Aa est le point double (368) de F/„ F..
CoROLCilUBS.
1° Le point k^ appartient aux circonférences adjointes (BA), (CA) ai à la circonférence BOC, Car l'angle
AAîG ^T.~ AsAC — AC Aï = -te — A^AC — li AAj = n — A. a" On a ÂIX' = A, B. A.C. '^ = -•
ÏHÉOBÈME. ■
4fi. Les triangles ki^iCu^t^t^^o'^' pow' centre d'homoîogieli: centra degrafil^GdeAi'BiCilpour axe d'homologie, la polaire de li par rapport au cercle (OK) {J!g. 22).
En effet, B| et Ci étant des points homologues de Fi et F^ les droites homologues AaBi, A^C, font entre ellea un angle é^al d celui des lignes homologues CA, AS ou égal à n — A de plus elles sont proportionnelles à CA, AB ou à Cl Al, AiBi. Par consequeil les points Ai, A, sont situés de part et d'autre deBsGi, et AjBi A Bi = 4iCi, AjCi; les triangles AiA^Bi, AiÂiB^ sont donc équnalentà, et AiA^ passé au milieu de BiCi.
Comme les cordes AiAj, BiBa se coupent en G, le point d'intersection des cordes AiBj, AiB^ appartient à la polaire de G ('AU), etc.
Corollaire.
Letriangle A^BjCs est semblable au triangle podaire de G par rapport à ABC.
THÉORÈMlîS.
47, La polaire de K par rapport au triangle AB(J. est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle (OK) (^. 22).
Soient u, f , z les points de rencontre de la droite OK avec la circonférence ABC, et avec la polaire ki k^ h de K. La division harmonique uazSi donne (332)
donc 3 K. 3 0 ^sK.Bc, ce qui démontre le théorème.
48. La circonférence (OK) et la polaire kik^ks de 'K sont des Jigure-s par rapport à la circonférence ABC {Jîg. 23).
468 NOTn m.
Co Uiéorèmo côaulte immoGialomenl, de la roldUon OK. Os = 11^(388). Oneoconclutqiieles iioints tripolairemeat associés à A|, B,, Ci, Ai, Bî.Cî, ii, û' appai- tiennent à la droite StAjA,.
Les points il, ii' étant des points inverses par rappori, au triangle ABC, leurs triangles podaires [N., 9) sont directement semblables à BG A, GAB. Les droites OQ, Oii' rencontrent la polaire de K en des points dont les triangles podaires sont inversement semblables à BCA, CAB. Le triangle podaii* de s est inversement semblable au tiiangle dont les côtds sont parallèles ans médianes de AflC-
<;E!U1L1!S TARfiENTS Alix TnOIS COTftS d'un TRIAKGLU.
-49. Soient (,;%. a6) I, la, I4, le îos centres du cercle inscrit et des cordes exinscrits au ti'iauglo fondameatai ABC. Les pointa de contact de ces cercles avec les côtés liC, CA, AB sont désignés par les lettres (a, p, f ), (au p„ Yi), («2. ps, ïO, i^z, p3, fa)-
On sait que ABC est le triangle orthique de ehacuo des quatre triangles ialùh, Ihh, 'dfa. hAal- Cette remarque conduit à quelques Ihéoi-èmes qu'il suffit d'énoncer.
i" Les droites la"!, Upî, le^si concourent au centre V du cercle Ifllilc; les droites Ta, l^Pa, liyi se coupent au centre Va du cercle Ilsifi, etc. Les deux quadrtingles WaV^Vci Holùlc ■«"" symétriques par rapport au point 0 ; les côtés du premier sont perpendiculaires aux milieux des côtés opposés du second.
a" Les di-oites qui joignent la, ^in le «"^' milieux &', B', C des côtés de ABC concourent au centre des sfinédianes du triangle lolilc; ies droites A'f, B'Ie, G'U, sont les symédimies du triangle l'ich, etc.
KO. Les droites An, B^, Cy concourent en un point F ajanc pour coordonnées liarjceniriqucs
Les droites Aa,, B)ii, Cyi concowuiU on unpoiiU l'a dont les c {tonnées barjcenlriques sont
Ces propositions se déduiaoat immédiatement des valeurs des segments Bk, Ca,
Le point r est appelé quelquefois ji^où» de Gergonne du triangle ABG ; Ta, Tû, l'c sont les adjoints de r.
SI. Les droites Acti, Bpj, Cyi concourent en un même point v, /■&!procfue du point T et anticomplémentaire de \.
UÉOMÉTHIE DU TRIANC.T.I
Las di-oiles An, fijij, C^s coiicoui-ent en un même point •/„, r6c.i~ proque de Va et tuiticomplémeiitaire de la, etc.
Les points a et a,, p et Pi, f et yi étant isotomiquea (N.,7), les droites A«i,BPî, Cfa conoourenl en un point v, réciproque de V. Les coordonnées baryoentriques do v sont égales à — rt+ j-f-r, «— 6-i-c, i/-i-/-> — c.
Fig. 56.
Ces osprossions montrent que v est l'anticompléraen taire du point !» dont les coordonnées sont a, b, c. Vonv établir directement cette pro-
