Sia^=l(b

r Le triangle podairo XYZ de K est semblable à ACB;

2° La circonférence AB'C passe par G; les circonférences AGB, AGC touchent le côté BC ; la circonférence BGC passe par H ;

3° OK est perpendiculaire à AK, GK est parallèle à BC;

4° ÂK* = BK.CK, 2ÂH ' = BH V Cii ';

5" Le triangle podaire de G est isocèle;

6° Le cercle qui passe par A et les pieds des bissectrices intérieure et estérieure de l'angle ABC passe par G ;

7° Lorsque deux sommets du triangle ABC restent fixes, le troisième décrit une circonférence-

34. Soient X, Y, Z les projectious du centre de gravite G du triangle ABC sur los côtés BC, CA, AB. La droite GX rencontre CA en X„ AB en Xi; la droite GY coupe AB en Yi, BC en Y^; enfin, k droite GZ

'tQ^l IJÙOJiÉTIim BU TRIANGLE.

youpo l)C ou Zj, CA en Zj. Démontrer les termules

m. Soient A,, Ui, Ci los projections du contre K des symédianes du triangle ABC sur les perpendinulaires élevées aux milieux des côl^s. Soit D le point de concoure des droites AAi, BBi, CGi. Démontrer que les droites joignant les milieux des côtés homologues des triangles ABC, AiB,Gi concourent en un même point S, qui est, à la fois, le complémeotaire de D, le milieu do la distance ûli' et l'inverse du pôle de la corde liQ' du cercle (OK).

36. H étant l'ortliocentre du triangle ABC, on porte, sur les droites HA, Hit, HC, des longueurs HA', HB', HC égaies aux hauteurs correspondaates de ABC. Los parallèles menées par A', B', G' aux eûtes BC, CA, AB forment un noiiveaii triangle A'B'C. Démontrer que H est le centre de gravité de A'B'C, ot que lo centre d'homothétie des triangles ABC, A°B"C'' est le centre du cercle des neuf points de chacun d'eux,

37. A un triangle domié ABC, on circonscrit deux triangles AiBid et AîBjG,, semblables à un triangle donné a^f, et ayant leurs côtés homologues perpendiculaires entre eux. Démontrer que la somme des aires des triangles AiBjCi, A^BjCb est constante.

38. On mène, par les sommets d'un triangle ABC, des droites faisant un mcmcaûgle^, dans lo même sens, avec les côtés opposés; soit A'B'C le triangle formé par ces droites. On demande de démontrer que :

1° Le centre du cercle circonscrit à A'B'C est l'orthocentre de ABC; a" Les projections de BC, CA, AB sur B'C C'A', A'B' sont égales

3" 11 existe une valeur de X telle, que le trianglo A'B'C soit égal à ABC.

39. Étant donnés les sommets B, C d'un triangle ABC et la symédiane indéfinie BE, lo sommet A décrit une circonférence.

40. Construire un triangle ABC, i" Les longueurs AB, AC, AKj ; 2° Les longueurs BC, AA', AKi ; 3° Les points B, C, K :

4" Les points B, C, !i;

rapport au point E : los droites AA',, BB'i, CC'i ont alors des directions connuos; quel est le rapport de similitude de A|B, Ci, ABC 7

56. Les bissectrices intérieures du triangle ABC rencontrent la circonférence circonscrite aux points A', B', C ; celles du triangle A'B'C rencontreat la circonférence aux points A", B", C" ; et ainsi de suite.

Démontrer que les triangles ainsi obtenus ont pour liraitea deux triangles équilaléraux symétriques par rapport yu centre du cercle ABC,

( liB L» PUGMIÉRJi PAUTIIÎ,