AM.AN'= AH'. AN = AB.AC
Am' ^ BMXM ynï^BN.CN'
19. La symodiane AK et la tangenle menée par A au cercle ci au triangle ABC rencontrent le coté BC en Ki, A-, ; si A' est le milieu (le BC, on a
AK, = ,v— -^ AiV, kk, = -,—% ■
20. Dans tout triangle, au [lus giand cote est opposée la plus petite symédiane, et réciproquement Un trnngle est laocele ai deu\ syinedianes sont égales.
2i. Sur les c6tés d'un tuansie ABi on Lonatrujt les triant,los dntctement semblables A'BC, B L 4 C AB Démontiei que les droite» AA , BB', ce sont égales et parallèles aux cotés d nn même triangle
22. Soient M, N, P trois points pris bur les cotes du triangle ABC ; soient M', N', P' leurs isotomiques Démontrer que les centres do gravité des triangles MNP, M'N'P sont ssymotiiques [ai rappoit in ccntit de gravité de ABC.
23. Soient A', B', C des pu nia divisani loa cotts B< L \. UJ lu triangle ABC dans le même rapport/): g.
1° Les triangles A'B'C, ABC ont môme centre de gravité.
1° Les droites AA', BB', CC sont égales et parallèles aux côtés d'un même triangle A"B''C''.
3° Si a, b, c, a', b', c'. S, S' sont les eûtes et les aires dos triangles ABC, A°B'C", on a
4° Soient A"', B™, G" les interseetioos mutuelles des droites AA', BB', CC; on a
^ -=E è:'F- - 'il ^^^1 ~ -JtzZ.1-'-— AC" q A'C°' yj' ' «' p^-i-pq -;■ q' '
A'"B-'C"' ^ {q~py
ABC p-^Pg-^q^
5' Les triangles ABC, A'B'C, A''B''C'' ont même angle de Brocard.
2i. Le centre des symédianes d'un triangle ABC et le centre du cercle circonscrit sont des points réciproques par rapport au triangle complémentaire do ABC.
Le réciproque de i'orthocenire de ABC est l' an li complémentaire du centre des symédianes.
23. Soient G, H le centre de gravité et l'ortliocentre du triangle ABC
49^ GÉOMÈl'UIl! DU TIliÀHGLE.
et soieiii a,, [Ji, -fj, nj, (i;,, -fs les points de roncontre des hauteurs et des mâdianes do ABC avec la circonférence dScriie sur GH comme diamètro. Démontrer que :
1° Le triangle nipi-f, est inversement semblable h ABC, et que le triangle a^ ^afs est inversemeni semblable au triangle podaire du centre K (ies aymédianes de ABC.
3" Les droites a, a,, ^ip,, y,^^ sont les symédîanes des triangles "i I*i7!i '^a^iïi et se coupent on K.
26. Les tangentes menées par les sommets d'un triangle ABC an cercle circonscrit formant le triangle KaK^Se :
r Les coordonnées normales absolues de K^ sont — -atangA, -h langA, -tangA.
■i." Ka et ses projections aurles côtés do ABC sont les sommets d'un [larailélogramme.
3° Les droites joignant Ka, K/,, Ke aux pieds II,, IJî, Hj des hauteurs de ABC se coupent en un point de la droite OH, qui est l'inverse do l'anticomplémentaire de K.
4° Los droites joignant A, B, C aux milieux des segments OKh, OK*, OKc concourent au point inverse du centre du cercle des neuf points de ABC.
5° Le centre du cercle circonscrit au triangle KaK^Kc est sur la droite on.
il. Parmi les triangles inscrits à ABC, celui dont la somme des carrés des côtés est minimum a pour sommets les pi-ojections de K sur BC, CA, AB.
2S. Soient I ie centre du cercle inscrit (r) au triangle ABC; o, [1, -j les points de contact de ce cercle avec les côtés de ABC; Ole contre du cercle ABC de rayon R; G' le centre do gravité du triangle a^Y- Démontrer que G' est sur la droite 01, que IG' = -^ et que la polaire
de G' par rapport au cercla I passe par los pieds des bissectrices estérioures du triangle ABC.
29. Sur les cfttés BA, CA d'un triangle ABC, on prend les longueurs BD = CE = BC. Démontrer que la droite joignant los centres 0, I du cercle circonscrit et du cercle inscrit au triangle ABC est perpendiculaire à la droite DE et égale au diamètre du cercle circonscrit au triangle ADE.
Quel est le théorème analogue sur les cercles oxinscritsî
QUESTIONS PBorosÉEs, 493
30. Si ta droite OK du triangle ABC esl parallolo à BC, (m a les [>i-opi'iétéa suivantes :
2» V= -Tc — A;
o" S! est sur la hauteur BH3, H' sur !a hauteur CHj; 4" La médiane CC et la hauteur BIIs se coupeul sur la syinédiane AK ; il en est de même de BB' et CH3 ; 5° AA' passe par le milieu de OK.
31. La droite ÛQ' est parallèle ou perpendiculoirc à AA' on parallèle à OA, lorsque, respectivement,
r La droite iiù' coïncide avec îa bissectrice CI;
2° Les points û, û' se confondent avec les projeclions A,, Bi de K sur les médiatrices OA', OB';
3° Le cercle (OK) touche AQ en ii, Bii' en Q';
4° La médiane AA' et la symêdiaiie BK se coupent sur Cl ; ii en est de même de BB' et AK.
