I.IÏBK I. — l-i T.IONJi DH01TE

oblus formés autour des points d'intersection 0 e( H sont égaux entre eux, les deux droites AB et CD sont parallèles.

Supposons {fig. 44] que t'angle HGA soii égal à l'angle GHD, ei concevons par le point H la parallèle à AB. Cette parallèle doit, d'après la proposition directe, faire avec GH un angle égal à l'angle HGA, et, par suite, à l'angle GHD; donc celte parallèle coïncide avec HD, et la droite CD est parallèle à AB.

ConOLLAIRES.

65. Deux parallèles AB et CD (fig. 44J étant coupées par une sécante ËF, il résulte de ce qui précède :

1° Que les angles altemes-internes i et 5, ou 4 s' ^j ^^nl égaux entre eux ;

■J." Q}i& les angles alternes-externes 3 et 7, ou 2 et 6, sont égaux entre eux ;

3" Que les angles correspondants 1 et 7, ou 3 ei8, ou 3 et 5, ou 4 et 6, sont égaux entre eux;

4° Que les angles intérieurs d'un même côté i et 8, ou 3 et 5, sont supplémenlairei;

5° Que les angles extérieurs d'un même côté 2 et 7, ou 3 et 6, sont supplémentaires.

El, RÉciFBOQUEHBHT, deux droites coupées par une sécante sont parallèles :

Si les angles alternes-internes sont égaux.

Ou si les angles alternes-externes sont égaux.

Ou si les angles correspondants sont égaux.

Ou si les angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires.

Ou si les angles extérieurs d'un même côté sont suppléinen-

34 GEOBieCBIB PLANE.

SCOLIE

66. La proposition directe et la propositioD réciproque étant démontrées, les propositions contraires sont vraies par cela même. Ainsi :

Deux droites étant coupées par une sécante, si les angles formés ne satisfont pas aux relations que nous venons d'énoncer, les deux droites ne sont pas parallèles. En particulier :

Lorsque deux droites font avec une transversale deux angles intérieurs d'un même côté dont la somme diffère de deux angles droits, ces droites se rencontrent du côté de la sécante oa cette somme est inférieure à deux angles droits.

C'est l'axiome XI de la Géométrie d'Euciide; on préfère aujourd'iiui prendre pour axiome la proposition énoncée au n°59. 67, Voici deux autres remarques souvent utiles : I" Deux droites [fig. 45], l'une AB perpendiculaire, et l'autre CD oblique sur une troisième droite AC, doivent se rencontrer; car la somme des deux angles intérieurs BAC, itCA, est moindre que deux angles droits.

Fig. /,5. FiB- 43.

a" Deux droites EF, GH {Jig. 46), respectivement perpendiculaires à deux droites CA et CB gui se coupent, doivent se rencontrer; car, en menant la droite EG, on voit que chacun des angles intérieurs FEG, HGE, est moindre qu'un angle droit : la somme de ces angles est donc inférieure à deux angles droits. THÉORÈME,

68. Deux parallèles AC, BD, comprises entre deux autres parallèles AB, CD, sont égales \fg. 47).

En effet, menons AD, Les deux triangles ABD, ACI) seront égaux comme ayant un côte commun AD adjacent à deux angles égaux cliacun à cliacun, savoir : i'angle BAD égal à l'angle ADC comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB, CD,

LlVllE 1. — LA LIGNE dhoiie. ,15

coupées par la sécante AD; et l'angle ADB égal à l'angle DAC comme allernes-internes par rapport aux parallèles AC, BD, coupées par la même sécante. Donc le côté BD oppoaé a l'angle BAD est égal au côté AC opposé à l'angle ADC.

r,e. il. FiG- /|8.

ConoLLAinE.

69. SI les deux lignes AC et BD (Jig./iS) étaient perpendiculaires sur AB et, par suite, sur CD (09), elles mesureraient les dislances des points A et B de !a droite AB à la droite CD. Ces deux distances étant égales comme parallèles comprises entre parallèles, et les deux points A et B étant pris d'une manière quelconque sur AB, on voit que deux parallèles sont partcut également distantes.

THÉORÈME

70. Deux angles qui ont leurs côtés parallèles chacun ù chacun sont égaux ou supplémentaires [fig. 49).

1° Supposons que les côtés parallèles soient deux à deux dirigés dans le même sens. Soient, par exemple, les angles ABC, DEF; BA et ED sont parallèles et dirigés l'un et l'autre de bas en haut; BC et EF sont parallèles et dirigés l'un et l'autre de gauche à droite : les deux angles considérés sont égaux.

En effet, prolongeons le côté DE jusqu'au point H, où il coupe le côté BC. Les angles ABC, DHC, sont égaux comme correspondanis par rapport aux parallèles BA, HD, coupées

36 GfiOHÉTn§E PLANE.

parBC; de même, les angles DEF, DHC, .sont égaux comme correspondants par rapport aux parallèles EF, HC, coupées par DH. Donc, l'angle ABC est égal à l'angle DEF.

2° Supposons que les côtés parallèles soient dirigés deux à deux en sens contraires. Soient, par exemple, les angles ABC, GEH; BA et EH sont parallèles et dirigés, le premier de bas en haut, le deuxième de haut en bas; BC et EG sont parallèles et dirigés, l'un de gauche à droite, l'autre de droite à gauche : les deux angles considérés sont égaux.

En effet, en prolongeant les côtés de l'angle GEH au delà du sommet E, on forme un angle DEF égal d'une part à GEH comme opposé par le sommet, et d'autre part égal à ABC comme ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux de ce dernier angle et dirigés dans le même sens.

3° Supposons enfin que deux côtés soient parallèles et de même sens, et les deux autres parallèles et de sens contraires. Soient, par exemple, les angles ABC, DEG; BA et ED sont parallèles et dirigés l'un et l'autre de bas en haut; BC etEG sont parallèlesetdirigés, le premier, de gauche à droite, le deuxième, de droite à gauche : les deux angles considérés sont supplémentaires.

En effet, en prolongeant GE au delà du sommet E, on forme un angle DEF qui est, d'une part, le supplément de DEG, et qui est, d'autre part, égal à ABC comme ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux de ce dernier angle et dirigés dans le même sens.

En résumé, deux angles qui ont leurs côtés parallèles sont égaux si les côtés parallèles sont dirigés deux à deux dans le même sens, ou encore si les côtés parallèles sont dirigés deux à deux en sens contraires; ils sont supplémentaires si deux côtés parallèles sont de même sens et les deux autres de sens contraires.

COEOLLAIRE.

71, Deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux ou supplémentaires.

1° Considérons deux angles aigus ABC, DEF {^g. Sojj le côté DE est perpendiculaire sur BA, et le côté EF est

LIÏHE 1. — L* LIGNE DBOITI!. d-^

perpendiculaire sur BG : les deux angles considérés sont

En effet, si l'on fait tourner l'angle DEF tout d'une pièce d'uti angle droit autour de son sommet E, le nouvel angle D'EF',

reproduction de DEF, aura ses côtés respectîvemenl parallèles à ceux de ABC : ED' et BA seront parallèles comme perpendiculaires à DE; EF' et BC seront parallèles comme perpendiculaires à EF. D'ailleurs, les angles ABC, D'EF', qui ont leurs côtés parallèles, étant tous les deux aigus, ne peuvent être supplémentaires : ils sont donc égaux; par suite, les angles ABC, DEF, le sont aussi.

2° Si les deux angles comparés étaient obtus, on démontrerait de la même manière leur égalité.

3° Considérons enfin deux angles d'espèce différente, c'està-dire l'un ABC aigu, l'autre DEF oblus {fig. 5(). En prolon-

l'iG- ■

géant EF au delà du sommet E, on forme un angle DEF,, qui est le supplément de DEF : cet angle DEF, est donc aigu comme l'angle ABC; d'ailleurs, il a ses côlés respeclivemeni perpendiculaires à ceux de ABC. Les angles ABC et DEF, sont donc égaux et, par suite, les angles proposés ABC ei DEF sont supplémentaires.

gëométhik plane.