Deux triangles rectangles sont égaux
1" Lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal;
1° Lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un côté de l'angle droit égal.
Fie- ï7-
En effet :
I" Soient {Jig. S^) les deux triangles ABC, A' B'C, rectangles n A et en A', et dans lesquels on a
BC = B'C' et B = B'.
Portons le triangle A'B'C' sur le triangle ABC, de manière que B'C coïncide avec BG, B' étant en B el C en C. Si l'on fait tomber les deux triangles du même côté de BC, l'angle B' étant égal à l'angle B, le côté B' A' prendra la direction BA ; dès lors, le côté C'A', qui est perpendiculaire sur B'A', devra prendre la direction de CA, qui est la seule perpendiculaire qu'on puisse abaisser du point G sur BA, Le point A' devant
38 GËOMËTRIE FLAHB.
tomber à la fois sur BA et sur CA viendra donc en A, et les deux triangles coïncideront.
2" Soieni(^g'. 37) les deux triangles ABC, A'B'C, rectangles en A et en A', et dans lesquels on a
BG = B'C' et AC=:A'C'.
Portons le triangle A'B'C sur le triangle ABC, de manière que A'C coïncide avec AC, A' étant en A et C en G. Si l'on fait tomber les deux triangles du même côté de AC, le côté A'B' prendra la direction de AB, à cause de l'égalité des angles droits A et A'. De plus, C'B' deviendra une oblique égale à CB, issue du même point C, et située du même côté de la perpendiculaire CA, Donc CB et C'B' s'écarteront également du pied de celte perpendiculaire (45); en d'autres termes, le point B' tombera en B, et les deux triangles coïncideront.
THÉORÈME
51. Tout point M pris sur la bissectrice AD d'un angle BAG est également distant des deux côtés de cet angle [fig- 38). Fig. 3S.
La distance du point M au côté AB est la longueur de la perpendiculaire ME abaissée du point M sur AB; de môme, la perpendiculaire MF, abaissée du point M sur AC, mesure la distance du point M au côté AC. II s'agit de démontrer l'égalité de ME et de MF. Or cette égalité résulte de celle des deux triangles MAE, MAF, qui, rectangles en E et en F, ont l'hjfpoténuse AM commune et un angle aigu égal, savoir MAE = MAF, puisque la û^oite Alî est la bissectrice de l'angle BAC.
LIVnE J. ~ LA LIGNE DROITE. 19
52. Réciproquement, tout point M pris à l'intérieur d'un angle BAC, à égale distance ME = MF de ses deux côtés Ait Pi AC, appartient à la bissectrice de cet angle.
En effet, en menant la droite MA, on obiienl deux triangles rectangles, MAE, MAF, qui sont égaux comme ayant l'hypoténuse MA commune et un côté de l'angle droit égal : ME = MF. Donc l'angle MAE opposé au côlé ME est égal à l'angle MAF opposé au côté MF, et la droite AM est la bissectrice de l'angle BAC.
COROLLAIHÏ.
53. La bissectrice d'un angle est le lieu géométrique des points qui, situés dans l'intérieur de cet angle, sont équidistants de ses côtés.
Par suite, le lieu des points d'un plan équidistants de deux droites concourantes de ce plan est le système des deux bissectrices des angles de ces droites (23).
SCOLIE
54. Pour élablirun lieu géométrique, il faut toujours prouver une double proposition composée, soit d'une certaine proposition directe et de sa réciproque, soit de cette même proposition directe et de la proposition contraire,
Ainsi l'on démontrera : que tout point d'une certaine figure iouit d'une certaine propriété (proposition directe), et que loui point jouissant de celte propriété appartient à cette figure (proposition réciproque);
Ou bien : que tout point d'une certaine figure jouit d'une certaine propriété (proposition directe), et que tout point pris hors de cette figure ne jouit pas de cette propriété (proposition contraire),
Il est ordinairement plus simple d'adopter le premier mode, c'est-à-dire de démontrer la proposition directe et sa réciproque; cela tient à ce que la proposition contraire exige toujours une figure différente de celle qui est relative à la proposition directe, tandis que la réciproque n'exige pas en général une figure nouvelle.
G&OllfiTIIIE PLjIHG.
- DES PABALLÈLES.
8S. Lorsqu'une sécante EF rencontre deux droites quelconques ABelCD, elle forme avec ces deux droiies huit angles, dont quatre autour du point G et quatre autour du point H [fig. Sg}.
Les quatre angles i, 4- 5, 8, compris entre les deux droites AB et CD, sont appelés angles internes. Les quatre autres, a, 3, 6, 7, sont appelés angles externes.
Deux angles qui soni internes, non adjacents et situés de part el d'autre de la sécante, sont dits alternes- internes i tels sont les angles i el 5, 4 et 8.
Deux angles qui sont externes, non adjacents et situés de part el d'autre de la sécante, sont dits alternes-externes : tels sont les angles a et 6, 3 et 7.
Deux angles silués d'un même côté de la sécante, l'un inlerne, l'autre externe, ei non adjacents, soni dits correspondants; tels sonl les angles i et 7, 4 ei 6, 2 et fi, 3 et 5.
EnQn, les angles i el 8, 4 et 5, sont dits intérieurs d'un même côté, el les angles 2 et 7, 3 el 6, extérieurs d'un même côté.
56. Deux droites sont dites parallèles lorsque, étanl situées dans un même plan, elles ne peuvent se rencontrer, si loin qu'on les prolonge.
THÉORÈME
57, Deux droites AC el BD perpendiculaires sur une troisième droite EF sont parallèles [fig. 4o].
Car, si elles se rencontraient, on pourrait de leur point d'il tersection abaisser deux perpendiculaires sur EF.
68. Par an, point A, situé hors d'une ligne droite 'BC, on peut mener une parallèle à cette droite {fig- 4i )•
Abaissons du point A la perpendiculaire AD sur BC, el menons à AD la perpendiculaire AE. Les deux droites AE ei BC, étant toutes deux perpendiculaires sur AD, sont parallèles.
59. On amiet que, par un point pris hors d'une ligne droite, on ne peut mener qu'une parallèle à celle droite. De là résultent les deux propositions suivantes !
60. Si une droite A en rencontre une autre B, elle rencontre toute parallèle C à cette autre; car si A était parallèle à C, du point de rencontre des droites A et B, on pourrait mener deux parallèles à C.
61. Deux droites A et B, parallèles à une troisième C, sont parallèles entre elles; car, si A eiB se rencontraient, de leur point de concours on pourrait mener deux parallèles à C.
THÉOKÈME.
62. Lorsque deux droites AB el CD sont parallèles, toute droite EF, perpendiculaire sur l'une AB, est perpendiculaire sur l'autre Oi [Jïg. 42).
Fig. 43.
D'al)orcf la droite EF rencontre CD (RO). Concevons par leur
point d'intersecUon F la perpendiculaire, à EF. Celle perpendiculaire, devant être parallèle à AB (57), coïncidera avec CD, puisque par le point F on ne peut mener qu'une parallèle à AB. Donc CD est perpendiculaire sur EF et, inversement, EF est perpendiculaire sur CD.
On énonce souvent ce lliéorème d'une manière plus rapide, en disant: Deux parallèles ont leurs perpendiculaires corn-
63. Lorsque deux droites parallèles AB, CD, sont rencontrées par une sécante EF, les quatre angles aigus formés autour des points d'intersection G et V. sont égaux entre eux, ainsi que les quatre angles obtus formés autour des mêmes points ijig. ^3).
Fig. 43.
En effet, par le point 0, milieu de GH, menons sur les parallèles AB et CD la perpendiculaire commune IK; 01 tombera dans l'angle aigu OGA, et OK dans l'angle aigu OHD (U). Or, les triangles rectangles OGI, OHK, ont leurs hjpoténuses OG et OH égales, puisque le point 0 est le milieu de GII, et les angles aigus lOG, HOK, égaux comme opposés par le sommet : ils sont donc égaux et, par suite, l'angle OGI est égal à l'angle OHK. Chacun de ces deux angles étant d'ailleurs égal à son opposé par le sommet, on voit que les quatre angles aigus OGI, EGB, OHK, CHF, sont égaux entre eux.
De même, les quatre angles obtus AGE, 0GB, DHF, OHC, sont aussi égaux entre eux, comme suppléments des angles aigus.
64. RÉciPROQUEflEPrr, deux droites AB et CD étant coupées par une sécante EF, si les quatre angles aigus ou les quatre angles
