C---=C' ou C-+-C

On ne peut donc faire que les trois hypoilièses suivantes : I" A + A':= 2", B + B' = a''. C 4- C'==T 2", a" A=A'. B+S'=i'', C-^C'=2'',

3" A = A.', B— B', et, par suite {7fi}, C = C'.

Or, dans le premier cas, la somme des angles des deux triangles vaudrait 6 angles droits; dans le second cas, celle somme surpasserait 4 angles droits de la quantité A -i- A' = a A. ï.a troisième combinaison est donc seule possible.

THÉORÈME

78. La somme des angles intérieurs d'un polygone convexe ABCDEF est égale à autant de fois deux angles droits qu'il a de côtés moins deux (Jig- 53).

Enjoignant l'un des sommets A à tous les sommets non adjacents, on décompose le polygone en autant de triangles qu'il a de côtés moins deux ; car chaque triangle contient un seul côté du polygone, excepté les deux triangles extrêmes, qui renferment chacun deux côtés de ce polygone. La somme des angles du polygone est égale à celle cSes angles de tous ces triangles ; elle vaut donc autant de fois deux angles droits qu'il

OÉOMfirniR TLANE.

y a de irîaogles, c'est-à-dire autant de fois deux angies droits que le polygone a de côtés moins deux.-

70, Si Ton désigne par n Je nombre des côtés du polygone, la somme de ses angles aura pour ejpression, en prenant' l'angle droit pour unité,

Si l'on fait dans la formule n^^, on trouve 4 pour la somme cherchée. La somme des angles d'un quadrilatère convexe est donc égale à quatre angles droits; d'où il suit que si un qua~ drilalÈre a tous ses angles égaux, chacun de ces angles est droit,

ConOLLUIRE.

80. La somme des angles qu'on forme à l'extérieur d'un polygone convexe, en prolongeant successivement ses côtés dans le même sens, est égale à quatre angles droits {fig. 54).

lîn effet, la somme d'un angle extérieur quelconque NAG et de l'angle intérieuradjaceniFABestégaleà deux angles droits; donc, la somme des angles, Uni intérieurs qu'extérieurs du polygone, est égale à autant de fois deux angles droits qu'il a de sommets ou de côtés. Cette somme surpasse donc de quatre angies droits (79) la somme des angles intérieurs: en d'autres termes, la somme des angles extérieurs est égale à quatre angles droits.

81 ■ II convient de remarquer qu'un polygone convexe nesaurail avoir d'après cela pius de trois angies intérieurs aigus; sans quoi il aurait plus de trois angles extérieurs obtus, et la somme de ses angles extérieurs surpasserait quatre angles droits.

LA 1.I(;NR BBOITE.

§ Vi. DU PARALLÉLOGRAMME,