Les angles opposés sont égaux deux à deux

3° Les diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales.

Soit le parallélogramme ABCD [fig. 6o),

l'DeuxcôlésopposésquelconquesABeiGD, par exemple, sont égaux entre eux; car ce sont, par hypothèse, deux droites parallèles comprises entre deuxautres droites parallèles AD eiBC (68).

2° Deux angles opposés quelconques, DM! el BCD, par exemple, sonl égaux entre eux; car ils sont formés par des côtés parallèles deux à deux el de sens contraires (70). AB ei CD sont en effei parallèles et de sens contraires, el il en est de même de AD el de CB.

3" Chacune des diagonales AC et BD est coupée par l'aulre, au point 0, en deux parties égales. En effet, les deux triangles AOB.BOC, ont un côté égal adjacent à deux angles égaux, savoir; le côté AB égal au côté DG, comme côtés opposés du parallélogranime-, l'angle OAB égal à l'angle OCD, comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB et CD coupées parAC; et l'angle OBA égal à l'angle ODC, comme alternes- Internes par rapport aux mêmes parallèles coupées par BD. Les triangles AOB, DOC sont donc égaux. Par suite, le côtéOiî, opposé a l'augle OAB, est égal au côté OD opposé à l'angle OCD, el le côté OA opposé à l'angle OBA est égal au côté OC opposé à l'angle ODC.

THÉORÈME

Si. Vn quadrilatère convexe est un parallélogramme ■■

i" Si ses côtés opposés sont égaux deux à deux;

a" Si ses angles opposés sont égaux deux à deux ;

3" Si deux côtés opposés sont à la fols égaux el piunlléles;

4" Si ses diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales.

Soit le quadrilatère ABCD (Jig. 6i).

1" Menons la diagonale AG. Les deux triangles ABC, ADC, sonl égaux comme ayanl les trois côtés égaux, savoir ; AC commun, AU eiCD égaux entre eux par hypothèse, ainsi que AD el BC. Par suite, l'angle BAC opposé à BC esi égal à l'angle ACD opposé à AD; et comme ces angles occupent, par rapport aux deux droites AB el CD el à la sécante AC, la position d'aîlernes-internes, les deux côtés AB et CD sont parallèles {63), De même, l'égalité des angles BCA el CAD entraîne le parallélisme des deux autres côtés AD el BG. Donc, le quadrilatère

liBCD ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux est un srallelogramme.

2" Les angles opposés A et G étanl égaux entre eux, ainsi que les angles It et D {,f^g- 62), on voit que deux angles consécutifs quelconques, B et C par exemple, ont une somme égale à la moitié de la somme des angles du quadrilatère, c'està-dire à deux droits. Ces deux angles B etC étant supplémentaires, et, de plus, intérieurs d'un même côté par rapport aux deux droites AB et CD coupées par BC, ces mêmes droites sont parallèles (65). On démontrerait de même que, les angles A et B étant supplémentaires, les deux autres côtés opposés, AD et BC, sont parallèles. Le quadrilatère A8CD est donc un parallélogramme.

3" Soient AB et CD les deux côtés opposés que l'on suppose égaux el parallèles [fif^- 61). En menant la diagonale AC, on forme deux triangles ABC, ADC, qui ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir: l'angle BAC égal à l'angle ACD, comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB el CD coupées par AC ; le côté AB égal au côté CD par hypothèse, et le côté AC commun. De l'égalité des triangles ABC, ADC, résuite celle des angles ACB et CAD; et comme ces angles sont alternes-internes par rapport aux deux droites AD et BC coupées par AC, ces mêmes droites sont parallèles. Le quadrilatère ABCD ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux esl un parallélogramme.

4° Puisqu'on suppose OA = 0C el OB = OD {/g-. 60), les angles AOB et COD étant d'ailleurs opposés par le sommet, les deux triangles AOB, COD, sont égaux. Donc, l'angle OAB est égal à l'angle OCD, D'ailleurs, ces angles étanl alternesinternes par rapport aux droites AB et CD coupées par AC, les côtés opposés AB et CD sont parallèles. De l'égalité des triangles AOD, BOC, on déduirait pareillement l'égalité des an

44 GÉOMfiTmn ri.ANE.

gles OAD, OCB, ei, par suite, le parallélisine des deux autres côlés opposés AD et BC. Le quadrilatère ABCD, ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux, est donc «n parallélogramme.

THÉORÈiUE.

85. Tout rectangle est un parallélogramme dont les diagonales sont égales [fig. 63).

l'ij. 63.

D'abord, tout rectangle est un parallélogramme, puisque ses angles opposés sont égaux (84, s."}. En second lieu, les deux triangles DAB, CBA, par exemple, sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir: l'angle droit DAB égal à Fangle droit CBA, le côté AB commun, et le côté AD égal au côté BC, comme côtés opposés d'un parallélogramme; donc, les diagonales AC et BD, hypoténuses des triangles rectangles égaux DAB, CBA, sont égales.

86. Béciproquement, tout parallélogi.imme dont les diagonales sont égales est un rectangle {fig- fa3). Car les triangles DAB, CBA, sont alors égaux comme ayant leurs trois côtés égaux : donc, l'angle DAB est égal à l'angle CBA, et comme chacun d'eux est égal à son opposé (83), on voit que le parallélogramme considéré a tous ses angles égaux et, par suite, est un rectangle.

THÉOBÈME.

87. Tout losange est un parallélogramme dont les diagonales sont : i" perpendiculaires l'une sur l'autre; i" bissectrices des angles opposés (fig. &^)-

D'abord, tout losange est un parallélogramme, puisque ses côtés opposés sont égaux{84, i").

En second lieu, les triangles ABC et ADC étant isocèles, puisque les quatre côtés d'un losange sont égaux, la diagonale BD, qui passe par le milieu 0 de la diagonale AC, esta la fois perpendiculaire sur AC et bissectrice des angles B et D,

LlVBl! I. — LA LIGNE DltOITE. /(^

Pour une raison analogue, la diagonale AC est bissectrice des angles A et C.

88. ItÉCiPROQUEJinHT, tout parallélogramme est un losange ; i" si sfis diagonales sont perpendiculaires l'une sur l'autre; 2" si l'une d'elles est bisseclrîce des angles dont elle unit tes sommets.

Car, puisque les diagonales d'un parallélogramme se coupent mutuellement en parties égales, dans l'un comme dans l'autre cas, les quatre triangles AOB, BOC, COD, AOD sont égaux, et par suite les côtés AB, BC, CD, DA le sont aussi.

SCOLIES

89. 'fout carré est un parallélogramme dont les diagonales sont égales, perpendiculaires entre elles et bissectrices des angles opposés; réciproquement, tout parallélogramme est un carré lorsque ses diagonales sont : i" égales et perpendiculaires entre elles; i- égales, l'une d'elles étant en outre la bissectrice des angles dont elle unit les sommets.

La démonstration de celle double proposition n'offre aucune difficulté.

90. On nomme centre d'un parallélogramme le point d'inlersection de ses diagonales. Voici la raison de celle dénomination :

Deux points M et M' [Jig. 6o) sont dits symétriques par rapport à un point 0, lorsque ce dernier point est le milieu de la droite qui joint les deux premiers. Deux figures sont

GËOHËTnIB PLINR.

dites symétriques par rapport à un point 0, lorsqu'elles se correspondenl point par point, de manière que deux points correspondants quelconques soient symétriques par rapport à ce point 0. Enfin, on dît qu'une figure admet un ventre 0, lorsque les points de celte figure sont deux à deux symétriques par rapport à ce point 0.

Or, il est aisé de voir que les points du contour d'un parallélogramme sont deux à deux symétriques par rapport au point d'intersection des diagonales; car, si l'on mène parce point 0 une droite quelconque MOM', l'égalité des triangles MOA.M'OC (32, 2") donne MO = M'0.

yGoosle

DE CKROLK.