LIVRE II, — LA CinCONPÈBËNtB DE CERCLE

au point I en deux parties égales. Dès lors, AB étant perpendiculaire sur le milieu de CD, tout point de AB, et en particulier le point B, est équidistant des points C et D. Les cordes BC et BD sont donc égales, el, par suite, les arcs BC et BD sont aussi égaux. En d'autres lernnes, l'arc CBD est divisé au point B en deux parties égales. On démontrerait de même que l'arc CAD est aussi divisé en deux parties égales au point A

COBOLLAIRKS.

103. La droite AB satisfait, d'après cela, aux cing conditions suivantes : elle passe par le centre 0, par lo milieu I de la corde CD, el par les milieux A et B de chacun des arcs que cette corde sous-tend; elle est enfin perpendiculaire sur la corde CD. Or, deux de ces cinq conditions suffisent pour déterminer ta droite AB ; car on sait que, par deux points, on ne peut mener qu'une droite, et que par un point on ne peut mener qu'une perpendiculaire sur une droite. Donc, toute ligne droite assujettie à deux des cinq conditions énoncées remplira nécessairement les trois autres. De là une série de propositions que le lecteur énoncera sans difficulté, et parmi lesquelles nous ne citerons que les suivantes :

La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une corde passe par le centre et par le milieu de chacun des arcs que celte corde sous-tend.

Le lieu géométrique des milieux d'un système de cordes parallèles est le diamètre perpendiculaire à la direction commune de ces cordes.

THÉORÈME

lOi. Dans un même cercle ou dans des cercles égaux :

i" Deux cordes égales sont également éloignées du centre ;

2' De deux cordes inégales, la plus petite est la plus éloignée du centre (Jîg. '}o).

1" Soient les deux cordes égales AB, CD, et soient OE, OF, les perpendiculaires menées du centre 0 sur chacune d'elles. Les longueurs de ces perpendiculaires mesurent les distances du centre à ces deux cordes, et il s'agit de démontrer que ces distances sont égales. Or les triangles rectangles ËOB,

02 GÉOMÉTRIE PLANE

COF, sont égaux comme ayaai l'hypoténuse égale el un côté égal, savoir : 0B= OC comme rayons d'un même cercle, ei EB = CF comme moitiés de cordes égales, puisque les pieds E et F des perpendiculaires OE etOF sont(102) tes milieux des cordes AB et CD. Donc OE, troisième côté du triangle OEB, est égal à OF, troisième côlé du triangle OCF,

2" Soient les deux cordes inégales AG et CD. On suppose AG moindre que CD, et ilfaut démontrer quela perpendiculaire OH, menée du centre sur la première corde, est plus grande que la perpendiculaire OF, Par le point A menons une corde AB égale à CD. La dislance OE du centre à celte corde sera égale à OF, et il reste à démontrer que OE est moindre que OH, Or, la corde AG étant moindre que la corde AB, l'arc AG est inférieur à l'arc AB, el, par suite, le centre 0 du cercle el le milieu H de la corde AG sont situés de pari et d'autre de la droite AB. Donc AB rencontre OH en un point I situé entre 0 eiH, el l'on a OI<OH. Mais, puisque OE est perpendiculaire sur AB, 01 est oblique, et l'on a