DÉFINITION
lOG. On nomme tangente au cercle loule droite CD {fig. 71) qui n'a qu'un point commun avec !a circonférence. Ce point commun A est appelé point de contact.
THÉORÈME
107, Toute perpendiculaire QO, à l'extrémité d'un rayonOA., est tangente à la circonférence [fig- 71)-
Eu effet, en joignant au centre 0 un point quelconque 1? (le CD, autre que le point A, on obtient une droite OB oblique sur CD, puisque OA est la perpendiculaire à CD qui passe par le poinl 0, Celte droite OB est donc, plus grande que la rayon OA (1-2), et, par suite, le point B est extérieur au cercle (94). La droite CD ayant tous ses points hors du cercle, sauf le point A, qui est commun aux deux lignes, est donc une tangente à la circonférence.
108. RÉCiPnoQUEHENT, toute tangente CD 5 la circonférence est perpendiculaire à l'extrémité du rayon OA qui aboutit au point de contact A {fig. 71)-
En effet, tout poinl B de la langenle CD, autre que le poinl A, éiant extérieur au cercle, sa distance BO au centre est plus grande que le rayon (94). Donc le rayon OA est la plus courle (ie toutes les droites qu'on peut mener du centre à la tangente CD. En d'autres termes, OA est perpendiculaire sur
•^4 GfiOMÉTIllE PLASP.
CD (45), et inversement, la langenle CD est perpendiculaire au point A sur le rayon OA.
Corollaires.
^ 109. Par un point A d'une circonférence 0, on peut toujours mener une. tangente à cette courbe, et l'on ne peut en mener qu'une.
110. Toute tangente est parallèle aux cordes ijue le diamètre mené au point de contact divise en deux parties égales (103).
SCOLIilS.
111. On peut considérer la tangente AC en un point A d'une circonférence {Jig. -jn] comme la position limite que prend une sécante AB lorsque cette sécante tourne autour du point A de manière que le second point d'intersection It vienne se confondre avec le premier. Car, lorsque les deux points d'intersection B et A sont ainsi réunis en un seul, la droite AG n'a plus qu'un point commun avec la circonférence.
Cette nouvelle définition de la tangente est applicable à toutes les courbes. D'ailleurs, nous verrons plus tard qu'outre sa généralité celte définition a sur celle dir n" 106 l'avantage de mettre en lumière l'intime corrélation de certains théorèmes qui sembleraient sans cela tout à fait distincts.
On dit qu'une courbe ou qu'un arc de courbe est convexe lorsque cette courbe ou cet arc tombe eniièremenl d'un même côté de chacune de ses tangentes. Le raisonnement du n' )07 prouve que la circonférence est convexe.
Nous avons vu au n" 95 qu'une droite quelconque ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points. Tout arc de courbe convexe jouit de la même propriété ; car, si une droite coupait cet arc en trois points, le premier et le dernier point seraient situés de part et d'autre de la tangente au point intermédiaire.
112. On appelle normale en un point d'une courbe la perpendiculaire élevée par ce point à la tangente correspondante.
LIVRR II. — L* ClHCONFEdENClî DE CERCLE, .'ÏS
La normale en un point d'une circonférence est donc dirigée suivant le rayon qui passe par ce poinl, c'est-à-dire que louies les normales à la circonférence passent par son centre.
Il en résulte que par un point pris sur la circonférence on peut toujours lui mener une normale, mais une seule; tandis que par un, point 0, extérieur ou intérieur à cette courbe (fig. 73 ), on p^ut en mener deux ; la normale OA el la normale OB.
Toute droite qui n'est pas normale à la circonférence lui est oblique.
THÈORËME.
f 13. Toute oblique OE, issue d'un point 0 qui n appartient pas à la circonférence C, a sa longueur comprise entre celles des deux normales OA et OB qui passent par ce point {fi^.'^Z).
FJB. 73.
Que le point 0 soil extérieur ou intérieur, OA est égal à la différence des côtés OC et CE du triangle OCE; donc ia normale OA est plus petite que l'oblique OE, troisième côté du triangle.
De même, OB est égal à la somme des côtés OC ei CE du même triangle ; donc la normale OB est plus grande que l'obiique OE, troisième côté de ce triangle,
ScouE.
114. On appelle distance d'un point 0 à une circonférence la longueur de la pïus petite OA des deux normales que l'on peut mener de ce point à la circonférence.
THÉORÈME
