Deux parallèles interceptent sur la ciiconj'érence des
6É0MÉTB1E rt.AKE-
II faut distinguer trois cas :
1° Supposons (/g-, 74} que les parallèles AB, CD, soient sécantes, et abaissons du centre 0 sur ces droites la perpendiculaire commune OM qui coupe la circonférence en M. La
Fig. 75.
Fie- :«-
point M est (109) à la fois le milieu de l'arc EMF que soustend la corde EF, et le milieu de l'arc GMH que sous-tend la corde GH ; on a donc
arc EM — arc FM, arc GM = arc HM ;
d'où, en soustrayant membre à membre,
arcEM ~ arcGM^ avcFM - arcHM. c'est-à-dire
CEG:.
cFH.
2" Supposons IJlg. 75) que les parallèles AB ei CD soient l'une sécante et l'autre tangente. Alors le rayon OK, qui aboutit au point de contact, est (107, 110) une perpendiculaire commune à la tangente CD et à la corde EF qui lui est parallèle; 1! divise donc l'arc EKF, sous-tendu par cette corde, en deux parties égales, et l'on a
arcEK = arcFK.
3° Supposons enfin {^g', 76) que les deux parallèles Ali et CD soient tangentes, l'une en 1 et l'autre en K. Les deux rayons 01 et OK, respectivement perpendiculaires à AB et à CD, seront dans le prolongement l'un de l'autre, puisque des droites parallèles ont leurs perpendiculaires communes. Les deux arcs KPI, KQI, sont donc égaux l'un et l'autre à une demicirconférence.
■ LA RIRCONFËRENCE I
THÉORÈME
IIG. Par trois points \, B, C, non situés en ligne droite, on pfntt toujours faire passer une circonférence, et l'on ne peut en faire passer qu'une (fig. 77 ).
il s'agit de prouver qu'il existe uti point, et un seul, situé à la même dislance des trois points donnés A, B, C.
Or, tout point équidisiant de A, B, C, doit se trouver sur la perpendiculaire DE élevée sur le milieu de AB, parce qu'elle est le lieu des points équidislants de A et de B; il doit aussi appartenir à la perpendiculaire FG élevée sur le milieu de BC, parce qu'elle est le lieu des points équîdistanls de B et de C. Comme deux droites DE, FG, ne peuvent avoir qu'un point commun, on voit d'abord qu'il ne saurait jamais exister qu'un seul point équidistanl des points A, B, C. En second lieu, un tel point existe toujours si, conformément à notre hypothèse, les points A, B, C, ne sont pas en ligne droite; car, les deux droites AB et BC se coupant, les droites DE et FG, qui leur sont respectivement perpendiculaires, doivent se rencontrer en un certain point 0 (67).
Le cercle décrit de ce point 0 comme centre, avec l'une des trois droites égales OA, OB, OC, pour rayon, passe par les points A, B, C, et estle seul qui puisse y passer.
On énonce souvent ce théorème d'une manière plus rapide en disant : Trois points, non en ligne droite, déterminent une circonférence.
CoitOLLAlRES.
117. La démonstration précédente prouve que les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un triangle ABC
passent par un même point. On en conclut imniédîatcniélU «^iie les trois hnuleiiis d'un triangle ABC {fig- 78), c'esl-à-dire les perpendiculaires Al), BE, CF, abaissées des sommets sur les côtés opposés, passent par un même point. Il suffit pour cela de montrer que ces trois hauteurs sont perpendiculaires sur les milieux des côtés du triangle A'B'C formé en menant par les sommets du triangle primitirACC des parallèles aux côtés opposés. Or, AD perpendiculaire a BC l'est aussi à sa parallèle B'C et, de plus, les longueurs AB' ei AC sont égales entre elles, puisqu'elles sont respectivement égales à BG comme parallèles comprises entre parallèles.
118. Deux circonférences ne peuvent avoir trois points communs sans coïncider; d'oii il suit ^w&deux circonférences distinctes ne peuvent avoir plus de deux points communs.
Lorsque deux circonférences ont deux points communs, on dit qu'elles se coupent ou qu'elles sont sécantes.
Lorsque deux circonférences n'ont qu'un point commun, on dit qu'elles sont tangentes; le point commun est appelé point de contact.
ÏHÉOiiïîME.
119. Lorsque deux circonférences se coupent, la droite 00' qui joint leurs centres est perpendiculaire sur la corde commune AB et divise celle corde en deux parties égales {Jig. 79).
En effet, la perpendiculaire élevée sur Sa corde commune AB par son milieu I doit passer par le centre de chacune des deux circonférences 0 et 0' (103).
COKOLLAIRE.
120. Supposons que, la circonférence 0 restant fixe, ainsi que le point A, la circonférence 0' tourne autour du point A,
fie manière que le second poinl d'iniersection B se rapprocha de plus en plus du premier el vienne à !a limite se coiiTondre avec lui, comme dans la Jig. 80. Les <ieux cîrconrérences n'ayant plus alors qu'un poinl commun Aseront tangentes en cepoint. D'ailleurs, la droite 00' passant toujours entre A elB, ces deux points ne peuvent se réunir que sur la ligne des centres 00'. Enfin, en vertu <!e ce mouvement (111), la corde commune devient à la limite tangente en A à chacune des deux circonférences. Donc :
Lorsque deux circonférences 0 et 0' sont iangentea, leur poinl fie contact A est situé sur la droite des centres, el la perpendiculaire CD élevée en ce point sur cette droite est une tangente commune aux deux circonférences.
On appelle angle de deux courbes qui ont un point commun l'angle formé par les langenies à ces deux courbes en ce point. Si cet angîe n'est pas nul, on dit que les deux courbes se conpenl. S'il est nul, e'esl-à-dire si les deux courbes ont la même langeijle au poinl commun, on dit que ces courbes sont tangentes. On appelle orthogonales deux courbes qui se coupent à angle droit.
Scoi.iK.
121. Deux circonférences distinctes peuvent avoir deu\ points communs, c'esi-à-dire se couper {Jig- S3); ou avoir un seul point commun , c'esl-à-dire être tangentes, soit extérieurement {^^, 82), soitintérieuremenl {Jtg. 84); ou enfin n'avoir aucun point commun, c'est-à-dire être extérieures {J>g. Si) ou intérieures (fg. 85) l'une à l'autre. Leurs positions relatives sont donc au nombre de cinq.
THÉORÈME
122. i" Si deux circonférences 0 et 0' sent extérieures, la distance des centres est plus grande que la somme des rayons;
2" Si elles sont tangentes extérieurement , la distance des centres est égale à la somme des rayons;
3" Si elles se coupent, la distance des centres est à la fais moindre que la somma et plus grande que la différence des rayons;
4" Si elles sont tangentes intérieurement, la distance des centres est égale à In différence des rayons;
5" Si elles sont intérieures, la distance des centres est moindre que la différence des rayons.
En effet :
I" A et A' {Jig. Si) étant les poînis où la ligne des centres coupe ies deux circonférences, on a
00' == OA -I- AA' -f- 0' A' ou 00' > OA + 0' A'.
2' Le point de contact A {fig. 82) est situé entre les deux centres et sur la droite 00' qui les joint. On a donc
3" Les deuï poinis commun.'; [ff^. iVi] éiani situés hors de
la ligne des centres (119 ), en joignant l'un d'eux U aux deux
centres, on forme un triangle dans lequel on a (36, 37)
00'<OB-f-0'B et 00'>OB-0'lt.
4° Le point de contact A {fig. 84) est situé au delà des deu?i centres sur la droite qui les joint. On a donc
ÛA = 00't-0'A, d'où 00' = 0A — O'A.
yGoosle
LivRiî II. — L\ cinoOKFfiiirxCB pe ctr.riL!?. 6r
5° A el A' ijig. 85) étant les points où la ili-oite 00' coupe les deux circonrérences, on a
0A = 00' -h O'A' + A' A, d'où OA >00' -h C'A',
c'esi-à-dire
