Mener une tanfçente coininuiie à deux cercles 0 et

Supposons !e problème résolu.

1° Soii AA' une tangente commune extérieure, c'esl-à-dire qui laisse les deux cercles d'un mt^me côié [fig. 120). Si, par le centre 0' de l'un Ans cercles, on imagine une parallèle O'B à AA', celte parallèle sera, comme AA', perpendiculaire sur le rayon OA. Elle sera donc tangente en B au cercle décrit du point 0 comme centre avec OB pour rayon; or, la figure ABO'A' étant un rectangle, on a

AB^= A'O', e(, par suite, OB--=OA - AB - OA - O'A'.

On est ainsi conduit à la construction suivante : décrivez une circonrérence du point 0 comme centre, avec un rayon égal à la différence des rayons des cercles donnés, et par le point 0' menez une tangente à cette circonférence auxiliaire; B étant le point de contact obtenu, tirez OBA, menez O'A' parallèle à OA; en joignant les points A et A', vous aurez la tangente cherchée.

Pour (jue le problème soit possible, il faut et il suffit que le point 0' ne soit pas à l'intérieur du cercle auxiliaire.

On doit donc avoir

00'>0B, c'est-à-dire 00'>OA-0'A',

ce qui revient à dire (122) que les deux cercles proposés 0 et 0' ne doivent pas être intérieurs i'un à l'autre.

Si les deux cercles 0 et 0' sont extérieurs, tangents oxîé-

LIïBE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. ,| ,

rieurement ou sécanis, on a 00' >■ OA — 0' A' ; le point 0 est extérieur au cercle auxiliaire, et l'on peut par ce point mener deux tangentes à ce cercle; donc les deux cercles donnés ont, dans chacun de ces cas, deux tangentes communes extérieures.

Si les deux cercles sont tangenis iniéricurement, on a 00' =:: OA — O'A'; le point 0' est sur !a circonférence auxiliaire; on ne peut donc mener par ce point fju'une tangente à ce cercle et, par suite, les deux cercles 0 et 0' ont une seule tangente commune extérieure.

2° Soil EE' une tangente commune intérieure, c'esl-à-diçe qui laisse les deux cercles 0 et 0' de côtés différents {Jlg, 1 20,). En imaginant, comme ci-dessus, une parallèle O'F à EE', on verra que celte parallèle est longenle a un cercle concenirique au cercle 0 et décrit avec un l-ayon OF égal à la somme OE-i-O'E' des rajons des cernes donnés, d'où l'on déduira la construction suivante : dtcrivcz du centre 0 de l'un des cercles une circonférence, avec un rajon égal à la somme des rayons des cercles proposés, et du point 0' menez une tangente à ce cercle auxiliaire; F étant le point de contact, lirez OEF, menez O'E' parallèle à OF, et, en joignant les points E cl E', vous aurez la tangente demandée.

Pour que le problème soit possible, il faut cl il suffit que le point 0' ne soil pas à l'intérieur du cercle auxiliaire; on doit donc avoir

00>0F ou 00'>OEj-0'E',

ce qui revient à dire (123) que les deux cercles proposés 0 eiO' doivent être exlérieurs l'un à l'autre ou tangents extérieurement.

Dans le premier cas, on a 00' > OE -l- O'E' ; le point 0' est extérieur au cercle auxiliaire; on peut donc mener par ce point deux tangentes à ce cercle, et les deux cercles 0 et 0' ont deux tangentes communes intérieures. Dans le second cas, on a 00' = OE -f- O'E' ; le point 0' est sur la circonférence'auxiliaire ; on ne peut donc mener par ce point qu'une tangente à ce cercle, ei, par suite, les cercles proposés 0 el 0' ont une seule tangente commune intérieure.

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