SIETIIODES DES SUBSTITUTIONS SUCCESSIVES

1(iG. Et d'abord, sauf pour un petit nombre de questions très simples qui se résolvent immédiatement, on procède toujours par mbstitutiotis successives. On ramène le problème proposé à un autre, qui se ramène à son tour à un troisième, et ainsi de suite, jusc|o'à ce qu'on arrive â un problème connu ou dont la solulon sot n n édate

C'est ainsi, par esemple, que le i,rol leme de mener pi u po o

parallèle à une droite se ramené à la construct o d n an e ég I i

î donné; que toutes les quest ons rdat ve aux perpend cula i

ramènent à la première d'entre elles milieu d'une droite; que le problene d cercles se ramène à la con d

I erpend c la re sur io deux

Voici un nouvel exemple un pei Construire, île tous les tr a li /)(!>• trois poiiils donnes A, B C

Le sommet M du triangle cherché MNP {/'g. iî4) doit se troi

g4 GÉOÎlftTniE PLANE.

le segment capable de 60 degrés décrit sur AB. Do même, le segment capable de 60 degrés décrie sur AC doit renfermer le sommet N. On obtiendra donc un triangle équilatéral circonscrit au triangle ABC, en décrivant sur AB et sur AC deux segments de 60 degrés, menant à volonté par le point A une sécante MAN, et tirant MB, NC, qui, par leur rencontre, donneront le troisième sommet P; il restera alors à choisir parmi tous les triangles qu'on obtient ainsi celui dont le côté MAN est maximum. Le problème est donc ramené au suivant : Mener, par un point kcoiiinmn à deux cil-confércnccs C et D, la sécante maximum i,fig. laS). Or, MAN étant une sécante quelconque, si l'on abaisse des centres C et D des per- ■ pendiculaires CP, DR, sur cette sécante, la droite PR sera ia moitié de la sécante, et il suffira de chercher le maximum de PR ou de la parallèle DL qui lui est égale. Mais le triangle rectangle DLC donne IlL< CD; CD est donc le maximum de PK, et ce maximum a lieu lorsque la sécante MAN est parallèle à la ligne des centres C et D des deux circonférences.

167. Parfois le problème auquel on ramène la question proposée est plus général que celle-ci. Il faut alors ne prendre parmi les solutions du second problème que celles qui conviennent à la question primitive, et écarter les solutions étrangères. Ainsi, au n° li6, nous avons ramené le problème proposé à trouver sur la droits BA un point A dont la distance au point C soit égale à b. Mais, pour répondre au problème considéré, la droite AC îi i doit, en outre, Stre placée dans l'angle donné B, C'est pourquoi, dans la discussion (146), nous avons rejeté les droites comprises dans l'angle adjacent et supplémentaire de l'angie B.

La méthode de substitutions successives n'est pas seulement un procédé géométrique, c'est ia marche que suit naturellement l'esprit pour établir une proposition quelconque dont l'évidence n'est pas immédiate. Cest ce qui explique l'intervention de cette méthode dans la démonstration de îa plupart des théorèmes de Géométrie. Pour prouver la vérité d'une proposition A, on la ramène à une proposition B qu'on ramène i son tour à une troisième proposition C, d J q à q p 'ienne

à une dernière proposition M é d t p 11 mém dém t ée antérieurement. Mais, pour l'ex I d ra t I l d spensable qu'il y ait réciprocité e d p p t t quelconques de la série A, B, C, . , M d t t es 1 d deux propositions consécutives cens dé é d t t 1 t quoi la vérité de la proposition finale M I t t pa II d 1 p mière proposition A.

Dès qu'on estarrivéàconstr il d p p t ABC,..., M, on peut esposer fa démonstration de deux manières : soit en suivant l'ordre même A, B,C, . ...M, de l'invention, soit en partant au contraire de la proposition M et en remontant la série dans l'ordre inverse M, . . . ,

r.LVKR n. — Li criicoNFfRENCE de ciîiicle. <)5

C, B, A. Dans la premiec cas, on fait Vimalyse du théorfeme; dans le second cas, on en présente la synthèse. L'analyse est la méthode d'invention; c'est par elle seule que l'on décnime. La synthèse n'est en réalité qu'une méthode d'exposition ; plus rapide qu'instructive, elle ne doit Ôtre exclusivement employée que dans les cas simpl.'s où la solution esl évidente. En thèse générale, dans toute bonne exposition, il convient de commencer par une analyse succincte et de ne laiss r à la synthèse que le soin d'éclaircir les détails; les deux méthodes se prêtent alo s un mutuel secours, l'une guidant la marche, l'autre l'assurant.

MfirHODlS PAR IMTEBSBCTION DE LIEUX GÉOMÉTBIQDËS.

1G8. La plupart des problèmes de Géométrie reviennent on dernièra analyse à la détermination d'un point d'après certaines conditions. S'agicil, par exemple, de faire passer un cercle par trois points donnés? Il faut trouver le centre. Veut-on mener une tangente à «n cerole par un point extérieur? On cherche le point de contact, etc. D'après cela, si on laisse de cûté une des conditions données, les antres conditions ne suffiront plus pour détci'miner un point unique, et il existera une inlînité de points remplissant ces conditions et formant par leur ensemble un lieu géométrique auquel appartiendra le point cberclié. En reprenant la condition délaissée, et faisant abstraction d'une autre, on aura un nouveau lieu géométrique qui rencontrera le premier au point demandé.

Ainsi, pour trmwcr fc rentre, d'un cercle passant par trois points donné.'- A, B, C (ISi). on fait d'abord abstraction du point C, et l'on trouve pour ie lieu des centres des circonférences passant par A et B la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB ; puis, re|ii'enant le point C et délaissant le point A, on trouve pour ie lieu des centres passant par B et G la perpendiculaire élevée sur le milieu de DC- Ces deux perpendiculaires se coupent au contre demandé.

Dans le problème Mener une tangente au cercle 0 par un point extérieur A (1S7), le point de conlact inconnu est déterminé par i'intei'section de la circonférence 0, qui est un premier lieu, et de la circonférencu décrite sur AO comme diamètre, qui est le iîeu des points d'où l'on voit, comme du point de contact, ia droite AO sous un angle droit.

Dans la recherche du segment capable d'im angle donné (162), la méthode des substitutions successives ramène d'abord la question à la recherche du centre d'un cercle passant par deux points donnés A et B, et langent en B à une droite donnée CBD; puis, en taisant tour à tour abstraction de la tangente CD et du point A, on trouve deux lieux rectiligues EO et BO qui se coupent au centre cherché.

La méikiiile par intersection de lieux géomélriipic!., due à l'école da Plafon [.i3o-347 av, J.-C), est peut-être la plus générale et la plus fé-

La méthode se prête, d'ailleurs, aussi bien il la discussion des problèmes qu'à leur solution. On commence par chercher les conditions pour que fe tleux lieux obtenus se rencontrent : le nombre de leurs points communs est le nombro de'i positioni du point choisi pour inconnue. On cherclic en n p J) médîalement, combien, ù chaque position

du p é é d de figures remplissant les conditions de

l'é q d jmbre des solutions du problème.

R q q e de ne e n 1 rob en e a la cl e c

ij'i p p ame e aadten aond une dro

d'ap d '^ e a 0 que e delà ssant une d

ces d d \ e e Ti b e es e en e u ce c e

(i.\ p dd a c i on e e n b trac o

du a e e u eco d e c e on au

position de la droite cherchée en enan de a ^en e co muoes deux cercles enveloppes. L'un de ce e e o n en e c ac d eux p d'ailleurs se réduire à un poin

Proposons-nous, par exemple, de mener une droite D, qui passe par un point donné A et qui de'tei-mine dnns un cercle donné G une corde de longueur donnée. Les droites qui satisfont k la première condilion seule ont pour enveloppe le point A. Quant aux droites qui satisfont à la seconde condition seule, elles enveloppent un cercle y conccnlriepie au cercle C, puisque les cordes égales d'un même cercle sont équîdlstantes du centre. TouLefois, co cercle y se réduit à son centre 0 si la longueur donnée, qui, d'ailleurs, ne saurait excéder le diamètre do cercle C, se trou\'e égale à ce diamètre- I.a droite cherchée D est, dans le premier cas, l'une quelconque des tangentes menées par A au cercle y; dans le second cas, c'est !a droite AO.

169. Pour faciliter l'emploi delà méthode qui nous occupe, nous allons rappeler les lieux géométriques que nous avons déjli rencontrés, et en ajouter quelques autres qui se rattachent aux précédents et qui résultent immédiatement des théories étudiées.

1° Le lieu des points fitué.v à une dislance donnée d'un point donné est le cercle qui a le point donné pour centre et la distance donnée pour rsiyon (91);

r.ivRË II. — LA ciiicONFÉBENriE niî ceucle. 97

2° Le lieu des milieux det cordes égales d'un cercle est un cercle concenlrique au premier (104);

3° Le lieu des points d'où l'on peut mener à un cercle des tangentes rf'd/iemétae toigKeiu-(f oH«ee est un cercle concentdqueaupremier (138);

4° Le lieu de.'! points situés à une dislance donnée d'une droite donnée est Je système des deux droites parallèles à la droite donnée et situées h la distance donnée de cette droite (69);

5° Le lieu des points situés à une dislance donnée d'un cercle donné est le système des deax cercles concentriques au premier, dont les rayons sont égaux au rayon du cercle primitif augmenté ou diminué de la distance donnée (lli) ;

6° Le lieu des points éqtiidistants de deux points donnés est la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite qui unit ces deux point8(49);

7" Le lieu des points équidUtants de deux droites qui se coupent est le système des bissectrices des angles formés par ces deux droites (53);

8° Le lieu des points d'oà l'on voit une portion de droite sousun angle donné est le système de deux arcs de cercle passant par les extrémités de la droite (IS-i), En particulier, le lieu des points d'oie l'on voit une portion de droite sous un angle droit est la circonférence dont cette portion de droite est un diamètre;

9° Le lieu des milieux des cordes d'an cercle qui passent par un point donné est le cercle qui a pour diamètre la droite qui joint le centre du cercle primitif au point donné, car du milieu de cliacune de ces cordes on volt cette portion de droite sous un angle droit (102);

10° Le lieu des points dont les distances à deux droites qui .te coupent ont une somme ou une différence donnée est le systèmode quatre droites. En effet, on prouve d'abord aisément que les points du lieu qui sont sur les deux droites données sont les sommets d'un rectangle dont ces deux droites sont les diagonales. Puis, en prenant un point sur l'un des côtés du rectangle (ou sur ce côté prolongé), on voit que la somme (ou la différence) des dislances de ce point aux deux diagonal égale à la

dislance d'un sommet du rectangle à la diagonale oppo e N us bornons à ces indications, en proposant au lecteur comn e e e d trouver les délails de la démonstration;

11° Le lieu de.t points M, telt que les pieds P, Q, R flfe pc p du laines abaissiiet de ce point .tur les côtés d 'un triangle ABC n l droite, est le cercle circonscrit à ce triangle (Jîg. ia6).

En effet, quelle que soit la position du point M dans le plan, les quadrilatères MRPA, MRGQ sont inscriptibles, puisque des points R et P on voit MA sous un angle droit, et que des points R et Q on voit MG sous un angle droit; il en résulte que les angles ARP, CRQ sont respectivement égaux aux angles AMP, GMQ.

Cela posé, si M est sur le cercle circonscrit au triangle ABC, les angles

R. et DE C. — Tr. de Gdom. (I" Pautle). 7

go nÉOMÈTRlE l'LiKE.

AMC et PMQ sont égaux comme ayant l'un et l'autre pour supplémeni l'angle B ; et si de chacun de ces doux angles on retranche l'angle PMC, les restes, c'est-à-dire les angles AMP, CMQ, et, par suite, ARP et CRQ seront égaux, d'où il suit que P; R, Q sont en ligne droite. Inversement, si ces points sont en ligne droite, les angles ARP, CRQ sont égaux; par suite, AMP, CMQ le sont aussi, ainsi que les angles AMC, PMQ qu'on obtient en leur ajoutant PMC; or, comme l'angle PMQ est le supplémeni de B, il en est de m6me de AMC; de aorte que le point M est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.

On remarquera que la proposition précédente et sa démonstration subsistent si, au lieu démener par le point M des perpendiculaires sur les trois côtés du triangle, on mène des droites également inclinées sur ces côtés.

Enfin, nous laissons au lecteur le soin de prouver que la droite PRQ, qu'on nomme droite de Siinproit,e'it équidistante du point M et du point do concouts des hauteurs du triangle ABC.

170. Voiei mamtcnant quelques applications un peu moins simples que les exemples qui nous ont servi à exposer le principe de la méthode :

1° Construire un triangle ABC cmnaisscuit te raté AB, la hauteur cnrrespondarite et l'angle opposé C .

Le sommet C est à l'intersection du lieu dos points qui sont à une distance de AB égale à la hauteur donnée (J 69, 4°) et du iiea des points d'où l'on voit AB sous l'angle donné (169, 8°). Le premier lieu se composant de deux droites parallèles à AB et l'autre de deux arcs de cercle passant par A et B, il y a, eu apparence, quatre solutions, qui se réduisent, en réalité, à une seule, vu l'égahté des quatre triangles trouvés. Le problème n'est, d'ailleurs, possible que si la (lèche de l'arc capable de C et décrit sur AB est supérieure ou égale à la hauteur donnée.

2° Mener entre deux cercles A et B une droite qui sott tangente tm premier A et qui ait une longueur donnée.

Le cercle B est un premier lieu d'une extrémité de !a droite; un se-