LIVRE n. — L* cm CONFÉRENCE DE CEnCLif

cond lieu de la même extrémité est un cercle concentrique à A (169, 3°). Le problème a quatre solutions, car de chacun des deux points communs aux deux lieux partent deux tangentes au cercle A.

Ainsi, dans ce problème, le nombre des solutions excède le nombre des points d'intersection des deux lieux, tandis qu'il était moindre dans le problème précédent.

3° Décrire un cercle //iii touche à la fois une circonférence C et une droite AX en un j,iimt donné A (fig. IS7),

Flg. IÎ7.

La perpendiculaire élevée par le point A sur la droite donnée est évidemment un premier lieu du centre du cercle inconnu.

Cela posé, remarquons que ce contre est à une distance du point A égale au rayon du cercle cherché, et à une distance du point G égale à la somme ou à la différence des rayons du cercle inconnu et du cerefe donné C, suivant que les cercles se touchent extérieurement ou intérieurement.

Donc, si l'on prend à partir du point A, de part et d'autre de la droite donnée AX et sur la perpendiculaire qu'on lui a menée au point A, deux longueurs AB et AB' égales au rayon du cercle C, on voit que le centre inconnu est équidistant de B et de C si le contact est extérieur, et de B' et de C si le contact est intérieur. Les perpendiculaires élevées sur les milieux de BC et de B'C forment donc un second lieu géométrique du centre cherché, et les points 0 et 0' où elles coupent la perpendiculaire menée par A à la droite donnée sont les centres des deux cercles qui résolvent la question.

Le point 0 existe toujours, car C et B étant de part et d'autre de AX, les droites BC et AX se coupent et, par suite, aussi les perpendiculaires a ces deux droites. Mais le point 0' peut cesser d'exister, car B'C peut être parallèle à AX ; le cercle C touche alors AX, et c'est cette droite qui tient lieu du cercle 0'.

UÉÛMÉTRIE

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LIVRK II. — LA CmOONFÉRENCE DE CERCLE. (0!

demmanlque lo point M où la ligne di'Oile AI coupe XY. Connaissant M, on n'a plus qu'à mener MN parallèle à ia direction donnée et a tii-er NB, pour obtenir le cliemin minimum demandé AMNB.

3° Poici un mode de transliilion qui permet de résoudre un grand nombre ite problèmes relatifs an quadrilatère {J!g. laçi). (').

Dans un quadrilatère ABCD, on peut transporter AB et AD parallèlemont à eus-mômog en CBi et CD;. Le parallélogramme BBiD,D formé de la sorte contiendra les éléments du quadrilatèro groupés d'une façon souvent avantageuse; les droites issues de C sont les côtés du quadrilatère et les angles formés autour de ce point sont les angles du quadrilatère; enfin les côtés du parallélogramme sont égauxaux diagonales du quadrilatère et forment les mêmes angles que celles-ci.

Par exemple, s'agit-il de construire un r/uadri/alère ABCD connuissant les diagonales, leur angle et les ang/cs DCA, CAD. La connaissance des diagonales et de leur angle permet de tracer le parallélogramme BBi D, D ; puis, à l'aide des deux autres angles, qui sont respectivement égaux il BiBC, DD,G, on a le point C par la rencontre de deux droites, et la figure totale s'ensuit.

4° Remarquons enfin que la translation parallèle permet de mener entre deux lignes données une droite de direction et de grandeur données.

Il ff d dépl 1 d 1 g de façon que chacun de ses points d d t ég 1 t [ il 1 la droite donnée; cette nouvelle

1 pli q té fie aux points où devra passer la

d t I lé ^ g 1 1 cteur à appliquer la solution au

Il d t d d iles, deux cercles ou une droite

172, On a vu, à propos du triangle isocèle, l'avantage qui peut résulter du retournement d'une figure, et, dans la théorie des perpendiculaires et des obliques, la feeilité que présente l'adjonction à une figure de la figure symétrique par rapport à une droite convenablement choisie; sur la figure ainsi doublée, on saisit parfois d'un coup d'ceil entre certaines lignes des relations qui seraient, sans cela, restées souvent inaperçues.

Voici d'autres exemples intéressants de cette méthode dite /?«;■ rriMcment ou par sjmétrie ;

1° Étant donnés deux points k etB et une droite XY , ironvcr sur celle droite un point M tel que la somme AM -+- BM soit un minimum.

Si les deux points donnés sont, comme A et B' (Jîg. !3o), situés de part et d'autre de XY, la droite AB' résout la question ; elle coupe XY au point cherché.

C) Petebses, Méthodes et théories pour la résolution des problèmes. (Traduit par M. Chemin.)

103 RÉ01BÈTRIE PLANE.

Si les deux points A et B sont d'un mÈme côté de XV (^g-. i3o), on observe que tout point M' de XV est équidistant de B et de son symétrique B' par rapport à XV (i8); le chemin AM'B'est doncégalà AM'B, et il suffit de chercher lu minimum de AM'B'. A et fi' étant de part et d'autre de XY, on n'a qu'à tirer la droite AB' qui rencontre XY au point cherché M. Il est bon do remarquer que les dciuv parties AM et MB du chemin miiiimam sont également inclinées sur XY. En effet, dans le rabattement de la figure autour de XY, le point M restant fixe, et B venant sur son symétrique B', l'angle BMY recouvre l'angle B'MY; et, comme ce dernier est opposé par le sommet à AMX, on voit que les angles AMX, BMY sont égaux.

Fin- .30.

a" Éinnt donnés r!cii,v points ketBct une droite XY, Imm-er sur cette droite tm point M, tel que BM — AM soil an maj:inium.

Si les deux points donnés sont, comme A et B' {fig. i3i)i situés d'un m6mo côté de XY, la droite AB' résout la question; elle coupe XY au point cherché M, En effet, M' étant un point quelconque de XY, on a dans !e triangle B'M'A