Lorsque deux j

THÉORÈME n.

tygones égaux et de sens opposés ABC .... s dans un même plaît, on peut amener le premier ■r le second ou, moyen du retournement du plan autour d'un certain a.re d'une translation rccliligne pnrallèle à cet axe {Jig. 134).

Fijf. i34-

Kn efTet, achevons le parallélogramme AA'B'Bî dont AA' ot A'B' sont deux côtés consécutifs ; puis, par le milieu I deAA', menons la parallèle L à la bissectrice AEdo l'angle BjAB. Le polygone Ai B, Ci- .., symétrique de ABC, . . par rapport à L, étant égal à A'B'C. . . et de même sens, il suffit de prouver que la figure A'B'B,A, est un parallélogramme, et que AAi est parallèle à L; car, alors, en replianlleplan autour de L, on amènera ABC... sur A:EiCi...; puis une translation rectiligne égale et parallèle à A,A' et, par conséquent, parallèle à L amènera Ai sur A', B| sur B' et, par suite (174), AiB,Ci.,, sur A'B'C —

Or AiBi et ABj, étant les symétriques d'une même droite AB par rapport à deux axes parallèles L et AE, sont égales, parallèles et de même sens; d'aiUours A'B' el ABi sont aussi égales, parallèles et de même sens; il en est donc de même pour AiBi et A'B', de sorte que la figure A'B'BiAi est bien un parallélogramme. D'autre part, « étant le milieu de AA|, c'est-à-dire le point de rencontre des deux droites rectangulaires AAi et L, ot a' étant la projection de A' sur L, les triangles rectangles Ala, A'Ia' sont égaux comme ayant l'hypoténuse égale et les angles égaux ; il en résulte A' a' = Aœ = aAi, de sorte que la figure AiA'a'a est un rectangle, ce qui prouve que AjA' est parallèle à L.

La droite L est également inclinée sur deux cétés homologues quelconques des deux polygones, et elle contient les milieux des droites qui joignent les sommets homologues.

LIÏEE III. — LES FIGilEES SEKBLABLES. lOÇ)