LIVRE .11. — LA CrnCOHFÉRENGK DE CERCLE. I

une figure reetiligne à laquelle on lionne, par extension, le nom de/wlygone; ainsi quand nous dirons le polygone ABC DE, il faudra entendre la figure reeliJigne obtenue en joignant par des lignes droites îe premier point A au second point B, le second point B au troisième C, . . ., et enfin le dernier point E au premier A.

Considérons, dans un pian, deux systèmes de pointa A et A', B et B', C et C, . . . , qui se correspondent un à un d'après une loi géométrique d'ailleurs quelconque. Soient AB...PQR.. ., un polygone formé avec les points du premier système, et A'B'., .P'Q'It'. . . , le polygone formé avec les points correspondants ou homologues du second système. Supposons enfin que deux observateurs parcourent simultanément, i'un le chemin bien déterminé AB. . .PQR... , l'autre le chemin correspondant A'B'.-.P'Q'R..,. Nous dirons que les deux polygones AB...PQR..., A'B' P'Q'R'.., sont de même sens ou de sens opposés suivant que d mets homologues quelconques U et R' sont vus de la mËme

è (c'est-à-dire tous deux à droite ou tous deux ù gauche), ou de m différent6s(c'est-à-direrun à droite, l'autre à gauche) parles

b urs parcourant les deux côtés homologues PQ, P'Q' qui pré-

d mmédiatement H et R'.

N désignons, eu général, deux sommets homologues de deux po-

g orrespondants par une mÈme lettre, en accenluaut celle qui est

u second polygone; toutefois cette notation n'est pas toujours

p b quand les deux figures ont des points communs, à moins de

deux lettres à un même point, ce qui serait uue complication

On évite toute ambiguïté en convenant d'attribuer, dans les sym-

b ABC. .,, MNS.. . qui désignent deux polygones correspondants,

n rang aux deux lettres qui répondent à deux points homologues ;

A st l'homologue de M, B l'homologue de N, etc.

D polygones correspondants ABC. . . , A' B'C . . . sont dits égaits lorsqu on peut les superposer soit directement, soit par retournement, de manière que chaque sommet vienne sur son homologue. Dès que lo mode de correspondance des sommets est fixé, il est clair que la superposition n'est possible que d'une seule manière.

174. Deux polygones égaux et de même jc/m ABC. - ., A' B'C. . . coïncident dès qu'Us ont deux couples A el A', B et B' de sommets conse'cuaf,co„m„,.

En effet, dès que A est en A' et B en B', BC prend la direction B'C, puisque BC et B'C sont du même côté par rapport à AB et font des angles égaux avec cette droite; d'ailleurs, B'G'=^ BC; donc C tombe en C, et l'on verrait de même que D' tombe en D, et ainsi de suite.

Si les polygones étaient de sens opposés, lisseraient symétriques par rapport au côté commun AB; car si l'on imaginele polygone ABCiDj.. .

106 GÉOSIËTRIE PLAKE.

Bimétricjue de ABCD...par raiiport à AB,cq nouveau polygone sera de même sens que A'B'C'D'. . ., lui sera égal et aura avec lui deux poinls homologues communs A et A', B et B'; donc il coïncidera avec loi, d'après la proposition prccédcnle.

THÉOHÈME I.

17S. Lofs'pie di:iu: polygones égaux et de même sens hSC . ., A'B'C. . . sont situés dans un même plan, on peiU amener le premier sur le second ptir une rotation autour d'un point du plan {fig. iSa).

Il suffit, d'après le n° 174, de montrer qu'on peut, par une rotation, amener A sur A' et B sur B'.

Or construisons sur A'B' un triangle A'B'A' égal à ABA' et do mâme sens, et soit 0 le centre du cercle qui passe par les trois points A, A', A". Les triangles OAA', OA'A" sont égaux comme ayant les trois côtés égaux , ils sont, en outre, de mfime sens, car deus cordes égales et consécutives AA', A'A' d'un cercle comprennent le diamètre A'O qui aboutit à leur point commun. Donc, si, par une rotation autour de 0, on amène OA sur OA', le triangle OAA' coïncidera' (174) avec OA'A"; et, par suite, le triangle ABA' coïncidera avec A'B'A".

Fie. i33.

II importe do remarquer que le centre de relation 0 doit Être équidistant de deux points homologues quelconques ; il est donc le point de concours des perpendi eu i aires élevées sur les milieux des droites qui joignent deux points homologues quelconques.

Enfin le raisonnement et la conclusion supposent que les points A, A', A' ne soient pas en ligne droite, c'est-â-dire, d'après la construction du point A°, que AB et A'B' ne soient pas parallèles et do même sens; s'il en était ainsi, la fignre AA'BB' serait un parallélogramme, AA' et BB' seraient donc égales, parallèles el de même sens, efalora, pour amener A sur A' et B sur 0' et, par suite, la première figure sur la seconde, il suffirait d'opérer sur la première figure une translation, c'est-à-dire de faire décrire à chaque sommet une droite égale et parallèle à AA'.

Corollaires.

1 76. Quand une figure de forme et de grandeur invariables se déplace dans son plan d'un monvoment continu, chaque point décrit une trajectoire ; soient ABC , . . une position quelconque de îa figure, A' B' C . . . une position voisine; si la seconde figure tend vers la première, les cordes .4A', BB', ce, ... deviennent les tangentes on A, B, C, . .., aux trajectoires de ces points, et les perpendiculaires élevÉes sur les milieux des cordes deviennent les normales aux trajectoires; comme ces perpendiculaires passent par un mÔme point 0 dont la situation dépend à la fois des deux positions successives ABC. . ., A'B'C. .. de ia figure, à la limite, ces perpendiculaires, c'est-à-dire les normales, passeront par un mÉme point u) dont la situation ne dépend plus que de la position ABC... delà figure considérée. Donc, quand une figure te dépince dans son plan, les normales eiiix tnijectuires des tliiit-rx points, pour une position ilétermini'e qnelcomjue de la figure, passent par an même point to ; ce point w a reçu ie nom do centre instantané de rotation relatif à la position considérée de la figure.

Si l'on sait mener les normales aux trajectoires de deux points de la figure mobile, on aura par l'inlerseclioB do ces droites le point u, et il suffira de joindre lo à tout autre point de la figure pour avoir la normale et, par suite, la tangente à la trajectoire de ce point.

177. Considérons, en particulier, le déplacement d'une droite AB {fig. i33). Soient lo le centre instantané relatif à la position AB, et P la projection de oi sur la droite AB, c'est-à-dire le pied de la perpendiculaire abaissée de oi sur AB, Quand AB se déplace, le point P, considéré comme invariablement lié à la portion de droite AB, décrit une trajectoire qui, d'après le numéro précédent, a pour normale Pu) et, par suite, pour tangente en P la droite PAB. Donc, quand une droite se déplace dans un plan suivant une loi déterminée quelconqtm, elle reste constamment tangente à une ligne qu'on nomme son enveloppe) et, pour une position quelconque de la droite, le point où elle touche son enveloppe est la projection sur cette droite du centre instantané de rotation correspondimt.

Ce point de contact est aussi la limite du, point I oit la droite AB est rencontrée par sa position inftmincnt voisine A'B'. En effet, soient 0 le point autour duquel i! faut faire tourner AB pour amener A en A' et B en B', Q etQ' les projections de 0 sur AB et A'B'. Le point I est l'intersection des tangentes AB, A'B' au cercle décrit du point 0 comme centre avec OQ = OQ' pour rayon; la distance Ql, moindre que QQ', [end donc vers zéro quand A'B' tend vers AB;donc le point! ala même

I08 GÉOMÉTRIE PLANE

limite que le point Q, o'ost-à-dire a pour limite du centre instantané o> relatif b. ÂB.

1 projection P sur AB