LIVRE m. ^ LES FIGURES SEMBLABLES. I ' t

segmenls NA et NB délcrminés par le point N, et dont AR est la somme, et de soustractifs les segments N'A el N'B déterminés parle point N', et dont AB est la différence.

Lorsqu'une droite AB est ainsi divisée par deux points N etW, de façon que les segments additifs NA et NB soient proportionnels aux segments souslractifs N'A et N'B, on dit que ces deux points N el N' divisent Imrmoniquement la droite AB ou sont conjugués harmoniques par rapport à la droite AB. THÉORÈME.

181 . Deux droites quelconques sont coupées en parties proportionnellfs par une série de droites parallèles; en d'autres termes, lorsque deux droites AG, A' G', sont coupées par une série de parallèles AA', BB',..., GG', le rapport de deux segments quelconquf's de la première droite est égal au rapport des segments correspondants de la seconde {Jlg. ii6, iS'j).

Il suffit (note i) de prouver :

1" Que, si deux segments Alî et EF de la première droite tant égaux entre eux. les segments correspondants A'B' et E' F' de la seconde droite sont aussi égaux entre eux ;

2° Que, si sur la première droite, un segment EG est égal à la somme de deux autres AB et CD, sur la seconde droite, le segment 'E'G', correspondant à EG, est aussi égal à la somme des segments A'B' et G'D' qui correspondent à AB el à CD,

1" Menons A'P et E'Q parallèles à AG; A'P et AB seront égales comme parallèles comprises entre parallèles; E'Q sera égale à EF pour la même raison ; par suite, on aura A'P = E'Q, puisqu'onaparhypoihèse AB^EF. D'ailleurs, les angles PA'B', QE'F', sont égaux comme correspondants, et les angles A' PB', E'QF', comme ayant les côtés parallèles et de même sens; donc, les triangles PA'B', QE'F', ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, sont égaux, et l'on a A'B' = E'F'".

lia GËOiHËTtlIE PLANS.

2" Puisque, par hypothèse, EF=3AB, et GF = CD, on a, d'après l'atinéa qui précède, E'r'=A'B' et [i"G'=:C'D'; le segment E'G' est donc égal à 3a somme de A'ii et de CD'.

La figure peut offrir deus dispositions différentes; mais la démonstration ne change pas.

THÉORÈME

183. Toute parallèle DE à l'un des côtés BG d'un triangle ABC divise les deum autres cétés en parties proportionnelles {fis. i38, i39, i4o}.

Fig. i3S. Fie. i39' ^^Z- '4"-

En effet, en concevant par le sommet A une parallèle à on voit (181) qu'on a