BA

les distances à A et C formeront nn rapport égal à ^- Or,

entre A et C(I79), il n'existe qu'un seul point dont le rapport îles dislances à A et C soit égal à TTr;' et ce point est par hypothèse le point E. Donc la parallèle àBC, menée par le point D, passe par E et coïncide avec DE. Donc enfin DE est parallèle à BC.

Supposons, en second lieu, les points D e/ E situés sur les prolongements des côtés. Si D est, par exemp'e, au-dessous

de AB ijtg. i3g ), le rapport —~ sera supérieur à i ; il en sera

EA donc de même de son égal ^^ cl, par suite, le point E sera

pareillement au-dessous de AC. Dès lors la démonstration s'achèvera comme ci-dessus.

On verrait de même que si Détait au-dessus de B A. {Jïg.i/^n ), la proportion ( i ) exigerait que E fût au-dessus de CA ; puis, on achèverait la démonstration comme dans le premier cas.

Cette réciproque demande une certaine attention; l'hypothèse renferme en réalité deux parties : la première consiste dans l'existence de la proportion (i), et l'autre est relative à la situation des points D et E qui doivent être placés de la même manière sur les côtés AB et AC. Bien que sous-entendue d'ordinaire pour plus de brièveté, celte seconde partie est indispensable; car si l'un des points D était, par exemple, sur le côté lui-même et l'autre E sur l'un des prolongements, la droite DE ne saurait être parallèle à BC, bien que la proportion (i) l'ùt satisrailc,

K. el HE c. — Tr. de Géom. { I- Piirlip). S

GÉOMÈTKIii l'LANE, TIIÈOUËME.