AD DE EA
qui présente les mêmes numérateurs que la série (i). l*ai' suite, les dénominateurs AD, A'B', des deux premiers r,i]^ports étant égaux par construction, il faut qu'on ait aussi
DE r^ B'C. EA -=C'A';
les deux triangles ADE, A'B'C, ^ont donc égaux comme ajani tes trois côtés égaux chacun à chacun.
l.lVLllî H!. — l.ES FIfiURES SEMBLABLES. T2S
CoUOLLAir.ES.
201. Deua: triangles sont semblables, lorsqu'ils ont leur.'! côtés respectivement parallèles ou j'espectivement perpendiculaires; car, dans l'un et l'atitre cas, ces triangles ont leurs angles égaux chacun à chacun (77).
902. Deux triangles rectangles sont semblables, lorsqu'ils ont un angle aigu égal.
ScOLlES.
203. Il résulte du n" 200 que, dans les Irianglf-s, l'égalité des angles entraîne la proporlionnalilé des côtés, et réciproquement. Cette propriété fondamenlale, dont la découverte est atlribuéeà Thaïes (639-S48 av. J.-C), ne subsiste pas jiour des polygones quelconques. Par exemple, un carré et un reclaiigle ont leurs angles égaux, et cependant leurs côtés homologuys ne sont pas proportionnels. De même, un carré cl un losange ont leurs côtés proportionnels, et cependant leurs angles ne sont pas égaux.
20s.. Le tableau suivant, dans lequel nous avons réuni les cas d'égalilé et les cas de similitude de deux triangles, en les Hiisani correspondre un à un, permet de comparer les deux iliéories.
1° Deux angles égaux compronant
un côlé 6gal ; a" Un angle égal coBipris ontre deux
côl^ égaux ; 3' Lbs trois côtés Égaux.
1° Deux angles égaux;
t" Unanglcégalcompriscntredeiix
côtés proportionnels; i" Les trois eûtes proportionnels.
On voit que chaque cas de similitude ne renferme que deux conditions, tandis que l'égalité en exige toujours trois.
203. 11 iniporle en outre de remarquer le mode uniforme de démonstration que nous avons adopté au n° 200. Le procédé consiste à prendre, sur un côié du premier triangle, a
126 liÉOUlÉÎIllE l'I.ANK.
pariii' ilu soinracl, une longueur rigale au côte homologue du second; puis à mener, par le point ainsi déterminé, une parallèle à l'un des deux autres côtés du premier triangle. On construit ainsi un triangle auxiliaire qui, d'après le lemme d(i n°198, est semblable aw premier; et les conditions renfermées dans l'hypothèse permeileni ensuite de démontrer aîsémeni que ce triangle auxiliaire est égal au second triangle, en vertu du cas d'égalité qui correspond au cas de similitude que l'on étudie.
206. Enfin, il reste à montrer l'usage de cette théorie, c'està-dire à indiquer de quelle manière les cas de similitude interviennent dans la démonstration des théorèmes. Deux triangles semblables satisfont à cinq conditions, et chaque cas de similitude comprend deux de ces conditions groupées de telle sorte que, lorsqu'elles sont satisfaites, les cinq soient remplies. Par suite, quand, dans une certaine figure, on aura reconnu la similitude de deux triangles par l'application de l'un des trois cas, on devra en conclure immédiatement que les trois autres conditions sont remplies, et l'on aura acquis de celle manière de nouvelles données qui permettront d'aller plus loin.
207. Cherchons, par exemple, dans quel rapport se coupent deux médianes d'un triangle ABC, c'est-à-dire les droites Al> ei lîE qui joignent deux sommets aux milieux des côtés respectivement opposés {fig. i5,'|).
Soii G le point commun aux deux médianes AD, BE; In droite DE est parallèle ù AB^ISSÎ; par suite, les triangles DEC,
■ LES PIQURES SEBELADLES.
ABC sont semblables, ainsi que les triangles GED, AGB. D'ailleurs, E étant le milieu de AC, le rapport de similitude des deux premiers triangles est 1; donc KD est égale à In moiiié de AB, et le rapport de similitude des seconds triangles est aussi f. On a donc
DG = iAG, GE = iBG
DG = -iAD, GE = |BB.
e coupent en un pour, tir du côté qu'elle divise
Ainsi, deu.v médianes quelconqui situé au tiers de chacune d'elles à en deux parties égales.
Donc les trois médianes d'un triangle concourent en un même point ,
THÉORÈME
208. Deux po!yg-ones, composés d'un même nombre dp triangles semblables chacun à chacun et semhlahlement disposés, sont semblables {Jig. i55).
Soient ABF. FfîE, VAK, CFA\ et A'iî'F', F'B'E', E'B'C, C'E'D', deux séries de triangles respeciiveinent semblables el semblablement disposés; le polygone ABCDEF, formé par îes [iremiei-s triangles, est semblable au polygone A'B'G'-D'E'I" i]ue forment les seconds.
En effet :
i- Les angles des deux polygones sont égaux, soii comme
128 (lIiOMÉTlllK l'LANi;.
angles homologues de deux irîangles semblables, soi i comme sommes d'angles homologues de plusieurs triangles semblables. Ainsi, les angles A et A' sont égaux comme angles homologues des deux triangles semblables ]ÎAF, lî'A'F', tandis que l'angle B est égal à l'angle B' comme étant la somme des trois angles ABF, FBE, EBC, respectivement égaux aux trois angles A'B'F', F'B'E', E'B'C, qui composent l'angle B'.
2» Les côtés homologues sont proportionnels, car on a successivement :
A cause des triangles semblables ABF, A'B'F',
A'B' A'F' ICF'
A cause des triangles semblables BFE, B'F'Ë', R'F' F'E' E'B'
A cause des (riangles semblables EBC, E'B'C, E'îî' H'C CE'
A cause des triangles semblables CED, CE'!»',
CE' Cjy WT^ CE ^ U> '" DE '
d'où, en supprimant les rapports communs,
A' B^ iVT' FT B'C CIV WT^ XB ^ Al' ''^ FE ^ BG ^ CD ~ DE ■
200. RficEPBOQUEMEKT, deiix polygones semblables peuvent être décomposés en un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés (fig. i56).
Soie-ni ABGDE, A'B'C'B'E', deux polygones semblables. Prenons à l'inlérieur du premier un point quelconque 0, ei joignons ce point aux extrémités du côté AB; puis, sur le cOlé A'B' homologue de AB, et dans l'intérieur du polygone A'D'CIVE', construisons les angles B'A'O', A'B'O'.res-
