I.IVr.t; HT. — LES FlGUItES SESini.ADI.IÎS. iGç
férence 0 en doux points D et E, la corde DE prolongée passera par M. En effet, désignons un moment par s le point où la droite MD coupe la circonférence 0; on aura
MD.Me = MÂ'=MB.MC.
Donc(ll)l) le points est sur le cercle déterminé par les trois points C, B, D, c'est-à-dire sur la circonférence auxiliaire; il ne diffère donc pas de l'intersection E du cercle 0 et de celle circonférence auxiliaire. On déduit de cette analyse la construction suivante :
Par les deux points B et G, menez une circonférence quelconque qui coupe la circonférence donnée 0 en deux points 1> etE; et du point M, intersection de BG et de ED, menez une tangente MA au cercle 0. Le point A sera le point de contact du cercle 0 et du cercle inconnu, dont le centre 0' se trouvera d'ailleurs à l'intersection de OA prolongée et de la perpendiculaire élevée sur le milieu de BC.
La seconde tangente menée de M au cercle donné 0 donnera une seconde solution.
Si les points B et C étaient équidistants du centre 0, les droitesBG et DE seraientpara!lèles;ilsuffirait alors de mener au cercle 0 une tangente parallèle à BC; il y aurait encore deux solutions.
Enfin, pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que M soit extérieur au cercle 0, c'est-à-dire tonîbe sur les prolongements de la corde DE, et non enire D et E. Or, la corde DE décompose la circonférence auxiliaire DBCE en deux arcs a et «', dont l'un est intérieur et l'autre extérieur au cercle 0. Pour que M ne soit pas situé entre D et E, il faut et il suffit que B et G ne soient pas, l'un sur l'arc a et l'autre sur l'arc a', mais bien tous deux sur l'arc a ou tous deux sur l'arc a', c'esl-à-dire que B et G soient tous deux intérieurs ou tous deux extérieurs au cercle 0.
Sgolie.
263, La détermination d'un cercle 0 astreint h trois conditions prises parmi celles qui consistent à passer par un point donné, ou à toucher «ne droite ou un cercle donné, répond à dix problèmes qu'on peut dé-
lyO GÉOJIÈTlilE l'LANE.
signer par las symboles
PPP (i sol.), FDD (a sol.), DDC (S sol.),
DDD (4 sol.), PCD (4 sol.), DCC {8 sol.),
PPD f2 sol.), PCC (4 sol.), CGC (8 sol.), PPC (a sol.),
en représentant nn point par P, une droite par D, un cereîe par C. Nous avons indiqué, à côté de chaque symbole, le nombre des solutions dont le problème correspondant est susceptible.
La résolution de ces dis problèmes offre un exemple remarquable de la métbode des substitutions successives.
Les problèmes de la promière colonne ont été déjà résolus (1S4, 161, 262); on a vu d'ailleurs (262) que les deux derniers se ramenaient au premier PPP. — Indiquons p t Ho solution du pro-
blème PPD, qui Q'exigo que 1 d L IL — P et P' dé-
signant les deux points don é t P 1 j et q le P' par rapport h la droite donnée D, il est a é d <ï ' droite PP( est vue
des deux points de contact 1 h d gl qui sont respecti-
vement égaux aux angles d d d t D t PP II suffit donc, pour avoir ces points de contact, de décrire sur PPi un segment capable de l'un de ces angles, et de marquer les intersections de la droite D et du cercle ainsi obtenu.
Le p m p bl m PDD d I d è I se ramène à PPD,
n bse nt q 1 f h 1 é d enir le symétrique
d p t d n p PP 1 b t d i fi;le que forment les
d détq f Iptd — Le problème PCC so
raè PPr I ( 6i)l d ilitude S des deux
! d fit t 1 p d p p PP rt au cercle clier-
lôOOp d Jtm 1 dptd intersection de la
dtPSd 1 0— Lpbl PCD se ramène de la
nêm { 61) PPD à PPC
E f 1 p bl dit èm 1 mènent respeclive-
m q plé^did \iême colonne. La
m b i mË p t 1 t : c'est ia métbode
d n.la (171j A p 1 p bl m DDC n remarquera que,
i y d 111 m t d m ait du rayon R du
1 d é 1 n 1 p par le centre do
Id tthtldtd l [ lacée,! paralléiement
Il mêm d q ttéglàR— Dnêiïi s'il s'agit du pro-
bl DGL pi 1 pi g d d d ercles donnés par
u 1 5 t p y ( t ] t d ontacts) la somme
i d ff d y d d 1 t l'on déplacera la
! t d é p U 1 t 11 mè d \ tîté égale au rayon
LlTRli [[I. — I.LS n LHEt shMULABLËS. I71
do plus petit dea deux cercles — Enfin pou !e problème CGC, on substituera aux deux plus grands cercles des circonférences concentriques dont lea rayons différeront des leur« dune quanlité égale au rayon du plus petit des trois cen-les donnes
g VI. — POLYGONES UÉGULIERS.
IlÉFENITlOflS.
2G2f-. Un polygone est dit régulier, lorsqu'il a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux. Tels sont, par exemple, le triangle équîlatéral et le carré.
On nomme ligne brisée régulière toute ligne brisée convexe qui a ses côtés égaux et ses angles égaux,
THÉORÈME
265. Onpeuù toujours inscrire ou circonscrire à une circonférence donnée un polygone régulier d'un nombre donné de
Supposons la circonférence divisée en n parties égales, n étant le nombre de côtés que doit avoir te polygone.
1» En menant (,fig. i84) les cordes AU, BC, ... qui unis-
sent les points de division, on aura un polygone régulier inscrit de n côtés. En effet, les côtés de ce polygone sont égaux comme cordes d'arcs égaux, et ses angles sont égaux comme inscrits dans des segments égaux; car tout angle ABC du polygone est inscrit dans un segment correspondant à deux divisions consécutives de la circonférence.
2" En menant des tangentes (^g^. 184) par les points de division A, B, C, . . . , on aura un polygone régulier circonscrit de n côtés. En effet, dans les triangles GAB. HBC, ... les
172 GÉOSIÉTniK PLXKK.
côtés AB, BC, . . . sont égaux , et les angles en A, B, C, . . . , formés par une tangente ei une corde, sont aussi égaux comme ayant tous pour mesure la moitié d'une division de la circonférence; dès lors les triangles G.\B, HBC. ... sont isocèles ei égaux, et l'on a d'une part G = H = K — . . . , et de l'autre AG = GB=BH = HC — CK.-.., d'où l'on déduit GH = nK=::.... Ainsi le polygone GHK... a ses angles égaux et ses côtés égaux.
D'après cette démonstration, pour avoir le polygone régulier de n côtés circonscrit à un cercle, il suffit de diviser la circonférence en n parties égales et de mener des tangentes par les points de division. Or, les milieux M, N, P,.. . des arcs AB, BC, CD, . • . , qui sous-tendent les côtés du polygone régulier inscrit {/ig. i85), divisent évidemment la circonférence en n parties égales. On aura donc un polygone régulier circonscrit de n côtés en menant des tangentes par ces points. On préfère souvent celte seconde manière d'opérer, parce que le polygone A'IÎ'C'D',. . ., ainsi obtenu, a ses côtés parallèles à ceux du polygone inscrit ABCD. - ... et ses sommets A', B', C- ... sur les mêmes rayons OAA', OCB', . ., que les sommets du polygone ABCD.... En effet, d'une part deux côtés tels que BC, B'C, sont parallèles comme perpendiculaires sur la même droite ON, ei d'autre part deux tangentes telles que MB', NB', doivent se couper (158) sur la bissectrice OB de l'angle MON.
266. Uéciproquemiîdt, on peut toujours inscrire et circonscrire une circonférence à un polygone régulier donné.
Soit ABCDEF le polygone régulier donné [fig. i86).
1° Pour démontrer qu'on peut circonscrire une circonfé-
LlVnii 11[. — LES FlIiUliE^ SE]IBI,.iBI,ES. I70
renée a ce polygone, il suffit de prouver que la circonférence qui passe par irois sommets conséculifs quelconques A, lî, C, passe par le sommet suivant ï). Or, soit 0 le centre du cercle déterminé par les trois poinis A, B, C; menons OA, OD, et la perpendiculaire OH sur BC. Heplions le quadrilatère AIÎHO autour de OH; les angles en H étant droits, BH prendra la direction HC, et le point B tombera en C, puisque BH = HC. Sîais, le polygone étant régulier, l'angle ABH est égal à l'angle HCD, comme le côté BA au côté Cl) ; par suite, le côté BA prendra la direction CD, et le point A tombera en D. Donc OD est égal au rayon OA, et !a circonférence considérée passe par le point D.
2° Les côtés AB, BC,. . ., étant des cordes égales du cercle circonscrit, les perpendiculaires OG, OH,.--, abaissées du centre 0 sur ces cordes, seront égales (lOi); donc, si du point 0 comme centre, avec OH pour rayon, oa décrit une circonférence, chacun des côtés du polygone sera louché en son milieu par cette circonférence, alors inscrite au polygone.
CoBOtLAIRRS.
267. Ou nomme centre d'un polygone régulier le centre commun 0 de îa circonférence inscriie et de la circonférence circonscrite. Ce point, étant à égale distance de tous les côtés el de tous les sommets, est à la fois le point de concours des bissectrices de tous les angles et des perpendiculaires élevées sur les milieux des divers côtés.
On appelle rayon d'un polygone régulier le rayon du cercle circonscrit, et apothème de ce polygone le rayon du cercle inscrit.
On nomme angle au centre d'un polygone régulier l'angle AOB de deux rayons conséculifs; cet angle est évidemment égal à l'angle GOH de deux apothèmes consécutifs, el par conséquent est le supplément de l'angle GBH du polygone régulier. D'après cela, si n est le nombre des côlés du polygone, et si l'on prend l'angle droit pour unité, l'angle au centre
vaudra - el l'angle du polygone 2 On voit ainsi que,
sauf le triangle équilaléral dont les angles sont do 60 degrés.
174 GIÎOIHIÎTIIIE PI.ANli.
et le carré dont les angles sont di-oils, lous les polygones réguliers ont leurs angles obtus.
268. On prouverail, par des raison nemeiUs identiques aux précédents, que toute ligne brisée régulière est inscriptible et circonscriplîble, et par suite qu'elle a wn centre, un apoihème et un rayon, qui sont le centre et les rayons des circonférences inscrite et circonscrite. Une ligne brisée régulière ne diffère d'une portion de polygone régulier qu'en ce que son angle au centre n'est pas forcément une partie aliquote de quatre angles droits.
THÉORÈMK.
269. i" Deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables.
2° Leur rapport de similitude est égal à celui de leurs rayons
ou de leurs apothèmes.
En effet :
i" Ces polygones ont les angles égaux, puisque la valeur de l'angle d'un polygone régulier ne dépend que du nombre des côtés (267), et que le nombre des côtés est le même dans les deux figures; de plus, les côtés sont évidemment proportionriels, puisque, dans l'une et l'autre figure, ils sont égaux. Donc, les polygones considérés sont semblables.
2° Soient (Jig- iS^) AB le côlé du premier polygone, 0 son centre, OB son rayon, OFson apothème; soient de même A' E' le côté du second polygone, 0' son centre, O'B' son rayon, et O'F' son apothème. Les triangles rectangles BFO, B'F'O', sont semblables (202), puisque les angles FBO, F'B'O', sont égaux comme moitié des angles égaux ABC, A'B'C (2C7 ). On a donc
ËV^ „ i^ su.
yGoosle
llVllli m. — LES VIGUBES SEMDLAIIU'S , lyS
mais, les polygones proposés étant semblables, leur rapport de similitude est égal au rapport des côtés AB, A'IÎ', ou des demi-côtés BF, B'F'; il est donc aussi égal au rapport des rayons OB, O'B', ou au rapport des apothèmes OF, O'F'.
SCOLIE
270, Supposons la circonférence divisée en m parties égales: désignons par a la longueur de l'une des parties, et joignons !es points de division de p en p, à partir de l'un d'eux.
Si p est premier avec m, la circonférence ma et l'arc pa sous-tendu par chacune des cordes successives auront pour plus petit multiple commun pma, et l'on reviendra au point de départ après avoir parcouru p fois la circonférence ou m fois l'arc pa. On aura donc formé ainsi un polygone régulier de m côtés. Par exemple, dans la^^g-. igo où la circonférence est divisée en \a parties égales, on obtient, en joignant les points de division de i en i, le décagone convexe, el en joignant ces points de 3 en 3 un décagone régulier étoile.
Si p et m, au lieu d'être premiers entre eux, ont un plus grand commun diviseur 6, le plus petit multiple commun de l'arc pa et de ta circonférence ma sera —l-a. On reviendra
alors au point de départ après avoir parcouru ~ fois la circonférence ou — fois l'arc pa; en d'autres lernms, on aura
formé ainsi un polygone régulier de -^ côtés, et non plus de m côtés.
Au premier abord, il semble résulter de là qu'il existe autant de polygones réguliers (convexes ou étoiles) de m côtés qu'il y a de nombres premiers à m dans la suite i, 2,..., tn—i. Mais, si l'on remarque qu'en joignant les points de division de p en p, p étant premier à m, on obtient le même polygone qu'en les joignant de m — /* en m—p, on voit qu'en réalité le. nombre des polygones régulieis de m côtés est égal au nombre des entiers premiers à m conleniis dans la suite
1^6 GfiOMÉTilUi PLANE,
D'après cela, il n'y a qu'un hexagone régulier; il y a deux peniagones réguliers, deux décagones, qualre peniédécagones, etc.
§ VU. - PROBLÈMES SUli LES POLYGONES RÉGULIERS.
PR08LÈME
271, Inscrire un carré dans un cercle donné {fig. i88).
11 suffit évidemmciu de mener deux diamètres AC et Bt) perpendiculaires entre eux, et de joindre leurs exlrémités, pour avoir te carré demandé AliCD.
Le triangle AOB, rectangle en 0, donne
Âb'=0Â'+Ôb"--30X', d'où AB==:OA.v'ï.
Ainsi, le côté dit carré inscrit dans le cercle de rayon l\ est égal à \i. ^2.
It convient de remarquer que l'apothème du carré inscrit est égal à la moitié de son côté, et que le côté du carré circonscrit esl égal au diamètre du cercle considéré.
ConOLLAIRE,
272. Du carré, on passe à l'octogoiie régulier inscrit en divisant [fig. i8S) chacun des arcs AÏS, liC, CD, DA, en deux parties égaies. On déduirait de même de l'octogone le polygone régulier de i6 côtés, . . . , et ainsi de suite. On peut donc, afec la règle et le compas, inscrire les polygones réguliers de 4> 8. i6, 32, .... , et, en général, de a" côtés.
PRCRLËME.
273. Inscrire un hexagone régulier dans un cercle [fig. i8g). Supposons le problème résolu, et soit ABCDEF l'hexagone
LIVRK 1|[. — LES FinuRES SRMBI.ABLES. 177
demandé. En menant deux rayons consécutifs OA, OU, on obtient un triangle OAB qui est isocèle, et, par suile, doni
les angles A et B soni égaux. Mais, si l'on remarque que le rajon BO prolongé passe par le sommet E de l'hexagone, on voit que l'angle inscrit ABE a pour mesure la moitié de l'arc AFE, c'est-à-dire une division de la circonférence; et comme l'angle au centre AOB a aussi pour mesure une de ces divisions AB, les deux angles ABO et AOB sont égaux, el le triangle OAB est équilatéral. Donc, le côté de Vliexagone inscrit dans un cercle est égal au rayon B de ce cercle.
Pour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit, d'après cela, de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rajon, et de joindre les points de division consécutifs ainsi obtenus.
Corollaires.
27i. En joignant de deux en deux les sommets de l'hexagone, on obtient le triangle équilatéral inscrit ACE. Le triangle rectangle ACD donne
ÂC^- Âd'— CD' = 4R' — W - 3B',
AC = R \l^.
Ainsi, le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle de
rayon ï\ est é '■"'-' --■ ■ —'^ - .
sange.
Ainsi, le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle de rayon 11 est égal à R ^^ ; son apothème OG est d'ailleurs égal à la moitié du rayon, car la figure ABCO est un losange.
>. ( I- Pnr
yGoosle
tjS r.ÉOMÉTRIK PLANE.
275. En menani des tangentes par les points B, D, F, on forme le triangle équîlaiéral circonscrit A'C'E', dont les côtés sont parallèles à ceux du triangle équilatéral inscrit ACE, Le rapport de similitude de ces deux triangles est égal (269) à
-r^î c'est-à-dire à n. Ainsi, deux lignes homologues quelconques dans le triangle équilatéral circonscrit et dans le triangle équilatéral inscrit sont doubles l'une de l'autre.
276. De l'hexagone, on passe au dodécagone régulier inscrit en divisant en deux parties égales les arcs sous-lendus par les côtés de l'hexagone; on déduirait de même du dodécagone le polygone régulier de 24 côtés,. . ., el ainsi de suite. On peut dojic, avec la règle et le compas, inscrire les polygones réguliers de 3, 6, 12, 24.- . -, et, en général, de 3.2" côtés.
PROBLËUE.
