LIVRE VII. — LES CORPS RONDS

La surface spliérique peut donc être encore définie le lieu géométrique des points équidistnnts d'un point fixe.

Ce poini fixe 0 est dit le centre de la sphère. On nomme rayon toute droite, telle que OA ou OM, menée du centre 0 à la surface; tous les rayons d'une même sphère sont égaux. On nomme diamètre toute droite, telle que MN, passant par le centre et limitée à la surface sphérique; tous les diamètres d'une même sphère sont égaux, car chacun d'eux est la somme de deux rayons.

Deux sphères de même rayon sont égales.

772. La définition donnée au n° 111 pour la tangente aux courbes planes s'étend aux courbes de l'espace. H est aisé de voir, d'après cela, que la tangente MT à une courbe quelconque AMB tracée sur la sphère est perpendiculaire à l'extrémité du rayon OM mené au point de contact. En effet (^g"- 420 ).

Fig. 420.

prenons sur la courbe AMB un point M' voisin du point M, menons la sécante MM'S et joignons le centre 0 au milieu I de la corde MM'. Le triangle MOM' étant isocèle, la droite 01 est perpendiculaire sur MM'. Or, lorsque la sécante MM'S tourne autour du point M de manière à devenir à la limite la tangente MT, le point 1 milieu de M\î' se réunit au point M en même temps que le point M'. L'angle OMT, position limite de l'angle droit OIS, est donc lui-même un angle droit.

THÉORÈME

773. Toute section plane de la sphère est un cercle. En efl'el, les points de ia section sont, puis(|u'ils appartiennent à la sphère, situés à la même dislance du contre de celle

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

sphère; or on sait (91, 524) que le lieu des poinls d'un plan équidisianls d'un point fixe esi une circonférence de cercle.

Corollaires.

774. Si le point fixe 0, qui est ici le centre de la sphère [fig. 4^1 ), est situé dans le plan sécant, ce point est le centre même delà section ACB, dont le rayon ne diffère pas de celui de la sphère.

Si le point fixe 0 est extérieur au plan sécant, le centre I de la section DEF est la projection du cenlre 0 de la sphère sur le plan sécant o2i'. Quant au rayon lE = r de la section, c'est le côté de l'angle droit d'un triangle rectangle OIE dont l'hypoténuse OE est le rayon 11 de la sphère el dont l'autre côté de l'angle droit 01 est la dislance d du centre de la sphère au plan sécant. Ce rayon r résulte donc de la formule

vMî est ainsi conduit à diviser les sections planes de la sphère en deux classes : les grands cercles, dont les plans passent par le cenlre de la sphère et qui sont tous égaux entre eux, puisqu'ils oni tous pour rayon le rayon de la sphère; el les petits cercles, dont les plans ne contiennent pas le centre de la sphère, et dont les rayons, inférieurs à celui de la sphère, décroissent à mesure que leurs plans s'éloignent du centre de la sphère.

Deux petits cercles également éloignés du cenlre de la sphère sont égaux, el, de deux petits cercles inégalement éloignés du centre de la sphère, le plus grand est celui qui est le plus voisin de ce centre.

Ajoutons qu'il faut trois poinls ûe la surface sphérique pour