LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. I

est comprise entre les valeurs de deux des rapports

A>l^ ^ JsR^ JVB^ ^^> A,M,' M.n; N,H,' R.B;

Par suite, si l'on peut prouver que chacun de ces rapports a l'unité pour limite, il en sera de même du rapport (i); et, comme le dénominateur de ce rapport a pour limite la quantité bien définie /, quelle que soit la loi suivant laquelle les côtés de la ligne brisée AMNRB tendent vers zéro (291), son numérateur aura aussi / pour limite, quelle que soit cette loi.

Prenons donc l'un quelconque des rapports (2), -rpj^ par exemple.

Désignons par ^ la différence N// — M///, ou son égale N,/?, — M,///,. Le carré du rapport considéré aura pour expression

La valeur de ce carré est donc comprise entre / i»n \' rP

Mais, /», //, étant la longueur de l'arc de courbe plane dont mn est la corde, le rapport a l'unité pour limite (292) quand wi«i tend vers zéro.

La limite de tt-tt est donc égale à i.

2° La longueur d'un arc de courbe sphfirique est égale à la limite du périmètre d'une ligne brisée sphérique qui est inscrite dans cet arc et dont les côtés tendent vers zéro.

En efiel, soient AGB ( /ig: 44^ ) un arc de courbe quelconque

Fig. i>13.

tracé sur la sphère, et AEFGIB une ligne brisée sphérique inscrite dans cet arc, c'est-à-dire une ligne formée de portions d'arcs de grands cercles, ayant ses exliémilés on A et en M et ses sommets iniermédiaires situés sur l'arc de courbe AGI5.

l8o GÉOMÉTRIE DA^S l'eSPACE.

Si les arcs de grands cercles, donl la longueur de la ligne brisée sphérique esi la somme, tendent séparément vers zéro, suivant une loi d'ailleurs quelconque, le rapport de chacun de ces arcs à sa coi de aura l'unité pour limite. 11 en sera donc de même du rapport de la longueur de la ligne brisée à la somme des cordes. Et, comme (i°) la somme des cordes a pour limite la longueur de l'arc de courbe AGB, on voit que la longueur de la ligne brisée sphérique inscrite dans l'arc de courbe quelconque AGB a aussi pour limite la longueur de cet arc.

3" 11 est maintenant très-facile de trouver le plus court chemin entre deux points A et B sur la surface de la sphère

Soient AMB l'arc de grand cercle, moindre qu'une demicirconférence, qui unit les points A et B, et AGB une courbe sphérique quelconque tracée entre ces deux points. AEFGIB étant une portion de polygone sphérique inscrite dans cette courbe, on aura (803)

AMB < AE -+- EF + FG + GI -h IB.

Or, si l'on fait tendre vers zéro les côtés du polygone inscrit, le second membre a pour limite (2°) la longueur de l'arc de courbe AGIî. Donc l'arc de grand cercle AMB est moindre que toute autre courbe sphériijue allant de A en B : c'est le plus court chemin du point A au point B sur la sphère.

D'après cela, ou appelle distance sphérique de deux points A et B d'une sphère la longueur de l'arc de grand cercle moindre qu'une demi-circonférence qui unit ces deux points.

THÉORÈME

817. Pour qu'un grand cercle soit perpendiculaire à un petit cercle AMB, il faut et il suffit que le grand cercle passe par les pôles P et P' du petit cercle [fg- 42'i).

En d'autres termes, si l'on désigne par 0 le centre de la sphère et, respeclivement, par MS et par MT les tangentes au grand cercle et au pelil cercle au point commun M, pour que l'angle SMT soit droit, il faut et il suffit que les plans O.MS, MPP' coïncident.

En effet, le plan MPP' est perpendiculaire à MT, puisqu'il contient deux