LIVRE VII

LtS CORPS KONDS.

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D'ailleurs B'E et DC sont des quadiGnls, puisque B' est k pôle de AC el C le pôle de AB ; on a donc

DE = Y cire, de grand cercle — B'C

On procéderait de la même manière pour les angles B eiC.

Les triangles ABC el A' B'C résultant l'un de l'autre par la même construction (808), la propriété que nous venons de démontrer pour les angles A, B, C du premier triangle convient aux angles A', B', C du second. On prouverait d'ailleurs directement que l'angle A', par exemple, a pour mesure le supplément de BC, en prolongeant BC jusqu'à la rencontre de A'B' etde A'C.

SCOLIK.

811. Les propriétés des triangles polaires s'étendent aux polygones et aux courbes sphériques.

Soit (Jîg. 43y) un polygone sphéritpie convexe ABCDE; prenons, des deux pôles de l'arc de grand cercle EA, celui A' qui, par rapport à EA, est dans le même hémisplièrc que le polygone ABCDE; prenons d'une manière analogue les pôles B', C, D', E' des côtîs AB, BC, CD, DE. Le polygone A'B'C'D'E' sera le polygone polaire du proposé, et l'on démontrera, comme aux n"' 808 et 810 : i" que, si un imly^one sphériqiœ A'B'C'D'E' l'st le polygone polaire d'un polygone donné ABCDE, rccipro- (juenicnt ABCDE est le polygone polaire de A'B'C'D'E' ; a" que, dans deux polygones polaires , tout angle de l'un est le supplément du vôtédeCautre dont le sommet de l'angle considéré est le pôle.

812. On appelle arc de grand cercle tangent en un point M c/'////,couibe sfjhéric^ue AMN [Jîg. .ijo) la limite des positions que prend lo

176 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE,

grand cercle mené [lar le point M et un point voisin N, lorsque ce second point N de la courbe tend vers le premier. Une courbe sphérique esiconvexe si le grand cercle tangent en l'un quelconque de ses points laisse la courbe tout entière dans un seul hémisphère (799). Une courbe sphérique convexe ne saurait être rencontrée par un grand cercle en plus de deux points; et, des deux arcs de grand cercle qui joignent deux points quelconques de la courbe, Je plus petit, c'est-à-dire celui qui est moindre qu'une demi-circonférence, est à Vintérieur de la courbe.

Cela posé, soit A'M' [fig. 44o) une courbe sphérique convexe; en un point quelconque M' de cette courbe, menons le grand cercle tangent et prenons le pôle M de ce cercle qui est dans le même hémisphère que la courbe A'M'; le lieu des points M est la courbe polaire AM de A'M'. Inversement, la courbe A'M' est la courbe polaire de AM; en d'autres termes, le point M' est le pôle de l'arc de grand cercle tangent en M à la courbe AM; car si N est le pôle de l'arc de grand cercle N'T' tangent à la courbe A'M' en un point N' voisin de M', le point T' sera le pôle (780) de l'arc sécant MN, et, quand ce dernier arc deviendra tangent en M, le point T' se confondra avec M'. Ainsi les points M et M' des deux courbes se correspondent deux à deux, de telle sorte que le point M soit le pôle de l'arc de grand cercle tangent en M' et que le point M' soit le pôle de l'arc de grand cercle tangent en M.

Deux figures sphériques polaires sont des figures corrélatives : à tout point de l'une répond un arc de grand cercle dans l'autre, de telle sorte que, si trois pomts de la première sont sur un même grand cercle, les trois arcs de grand cercle correspondants de la seconde passent par un môme point, pôle de ce grand cercle. Tout théorème en engendre immédiatement un autre; et c'est même cette corrélation des figures sphériques qui a suggéré l'idée du principe général de dualité.

Corollaires.

813. Dans tout triangle sphérique : 1" la somme des angles est comprise entre deux et six angles droits; 2° le plus petit angle augmenté de deux droits surpasse ta somme des deux autres angles.

La démonslraiion est la même que pour les angles trlèdres (575), et les propriétés énoncées petiveiii èiro elles-mêmes considérées comme une conséquence des propriétés correspondantes des trièdres.

Il résulte de là qu'un triangle sphérique peut avoir un, deux ou trois angles droils. Quand le triangle est biredangle, ie sommet de l'angle qui n'est pas droit est le pôle du côté

LIVTIE Vir. — LV.S CORPS RONDS. I-yj

opposé, et les côtés qui compionnr-ni cet inigle sonl des quadranis. Dans le li iangle sphérique trirectan^^le, tous les côtés sont des quadrants; le triangle irireciaugle est le huitième de la sphère sur laquelle il est tracé : on le voit immédiatement en prolongeant les arcs de grand cercle qui forment les côtés du triangle.

THÉORÈME

814. Deux triatigles sphériques traces sur la même sphère ou sur des sphères t^^ales sont égaux dans toutes leurs parties : i" lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux aui^les égaux chacun à chacun; 2° lorsqu'ils ont un angle égal compris entie deux côtés égaux chacun à chacun; 3" lorsqu'ils ont les côtés égaux chacun à chacun; 4° lorsqu'ils ont les angles égaux chacun à chacun. — Dans tous les cas, ils sont égaux ou sj^métriques, suivant que la disposition des éléments donnés est la même ou est inverse.

Ce théorème est une conséquence des propriétés analogues (577, 578) des angles tiiedres. On peut aussi le démontrer directement.

Supposons d'abord que la disposition des éléments soit la même dans les deux triangles, on démontrera l'égalilé pour les trois premiers cas en raisonnant comme au n" 32 de la Géométrie plane. Quant au quatrième cas, il résulte du troisième par la considération du triangle polaire (810). Memarquons, en outre, que les deux premiers cas soniaussi corrélatifs l'un de l'autre.

Si la disposition des éléments donnés est inverse, le premier triangle et le symétrique du second présenteront la même disposition : ils seront donc égaux en vertu des données; par suite, les triangles proposés seront symétriques.

SCOLIE

815. Un tiièdre, dont le sommet est placé au centre de doux sphères concentriques, détennin(; évidemment sur ces sphères deux triangles sphériques dont les angles sont respeciivcnuMU égaux et les côtés proportionnels (296). Deux triangles sphériques de celte nature sovw. û\is semblables,

U. et DE C — Tr. de Géom. (Il' Parlie). 12

GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE.

THÉORÈME

816. Le plus court chemin d'un point à un autre sur la sur* face (le la sphère est l'arc de grand cercle, moindre qu'une demi-circonférence, qui joint ces deux points.

\° Il faut, avant tout, définir la longueur d'un arc de courbe gauche, c'est-à-dire dont tous les points ne sont pas situés dans un mênie pion. Celte longueur se définit comme celle d'un arc de courbe plane> C'est la limite du périmètre d'une ligne brisée qui est inscrite dans cet arc et dont les côtés tendent vers zéro.

Nous allons prouver que cette limite existe et qu'elle est unique, c'est-àdire indépendante de la loi suivant laquelle on fait tendre vers zéro les divers côtés de la ligne brisée.

Soient {/ig. 440 AB un arc de courbe gauche, oh sa projection orthogonale sur un plan quelconque P, M un point quelconque de AB et m la projection de ce point. Dans un plan pris à volonté, menons une droite indéfinie x,j, (fg. 44^) et prenons sur cettedroite, à partir d'un points,, une longueur «,/«, égale à la longueur de l'arc nm\ puis, au point w,, élevons sur x^y^ la perpendiculaire "/|M| égale à la projetante Mw. A lout'point M de la courbe AB répondra ainsi un point M, et, lorsque le point M décrira l'arc AB, le point M, décrira un arc de courbe plane A,B,, dont nous désignerons la longueur par /.

Fig. 441.

Fig. 442.

Cela posé, soient AMNRB une ligne brisée quelconque inscrite dans l'arc AB et amnrb, A,M,N,R,B, les lignes brisées correspondantes inscrites dans la projection ab et dans la ligne plane A,B,. La valeur du rapport

AM-^MN + iNK-f-BB (0 A.M,-^M.N,^-N.H,^-R,B"