LIVRR VII. — LES CORPS RONDS

gendrôe par la rotation de AB autour de xy, on a, d'après lé théorème précédent,

aire AB z= A'B'.circ.OI, et de même

aire AC = B'C'.circ.OI,

aire CD = CD'. cire. 01,

d'où, en ajoutant,

aireABCD = (A'B' + B'C' + C'D'j.circ.OI = circ.Ol.A'D'.

Corollaires.

837. Considérons un arc de cercle AD et une ligne brisée régulière inscrite ABCD; tandis que l'arc AD tourne autour du diamètre xOr, la ligne brisée engendre une aire qui (end vers une limite indépendante de la loi suivant laquelle ses côtés tendent vers zéro. En effet, dans le produit A' D', cire. 01 qui mesure cette aire, le p.'*emier facteur A'D' est invariable et le second cire. 01 a toujours pour limite circ.OA. C'est cette limite de l'aire engendrée par la ligne brisée régulière inscrite qu'on appelle aire de la zone décrite par l'arc AD.

On voit sans peine que la ligne brisée A, B, C, D, circonscrite au même arc et semblable à la ligne inscrite ABCD engendre une aire qui tend vers la même limite. En effet, on a

aireA,B,C,D, A', D', • circ^O^ ^ aire ABCD ~ A' D' .'circTOF *

^ 1 . circ.OA OA . , i. •. - ■ ■ u i

Or le rapport rrr = ttt tend vers 1 unité lorsque le nombre des

' '^ cire. 01 01

côtés delà ligne brisée ABCD croît indéfiniment, et il en est de même

du rapport ', ,' qui, en vertu de la similitude des polygones A' A BCDD ,

OA

A',A, B, C, D, D',, est aussi égal à Yj7'

THÉORÈME

838. L'aire d'une zone sphénque a pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence d'un grand cercle.

Par définition, l'aire de la zone est la limite vers laquelle tend l'aire engendrée par une ligne brisée régulière inscrite dans l'arc générateur de la zone, lorsque le nombre des côtés de cette ligne brisée croît indéfiniment. D'après cela, soient S

ig8 GÉOMfiTRIE BAWS i/eSPACE.

l'aire de la zone, H sa hauteur, et U le rayon de l'arc générateur, c'est-à-dire le rayon de la sphère à laquelle la zone appartient; soient de même s l'aire engentirée par une ligne brisée régulière inscrite dans l'arc générateur, et a l'apothème de celte ligne brisée. On a (836), puisque la projection de la ligne brisée sur l'axe est aussi égale à H,

5 = H. 27ra.

Mais, lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée, H reste invariable, s tend vers S, et a vers R. On a donc, à la limite,