Un plan est déterminé

1° Par une droite AB et un point C extérieur à cette ligne; 1° Par trois points A, B, C, non en ligne droite; 3° Par deux droi'tes AB et AC qui se coupent; 4° Par deux droites parallèles.

En etfet [Jig. 278) :

Fie. 27S.

1° Que l'on mène un plan AI)KI{ par AB, et (lu'on le fasse

4 GÉOMÉTRIE DAKS l'eSPACE.

tourner autour de celle droite, comme une porte sur ses gonds, jusqu'à cequ'il contienne le pointC;on aura alorsun plan AF<iP> pass ml par la droite AB et par le point C. Il ne saurait d'.iilleurs en exister d'autres, puisque deux plans remplissant ces conditions coïncident (489, 2°).

2" On ramène le deuxième cas au premier en remarquant que tout plan passant par la droite AB et le point C contient les trois points A, B, C, et réciproquement.

3° On ramène le troisième cas au premier en remarquant que tout plan passant par AB etpar un point quelconque de AC contient les deux droites AB, AC, etVéciproquement,

4° Deux parallèles sont toujours, par définition (56), situées dans un même plan; et ce plan est le seul qui les contienne, puisqu'on ne peut mener qu'un plan parla première parallèle el par un point de la seconde.

Corollaires.

493. Par un point A, on ne peut mener dans l'espace qu'une parallèle à une droite donnée DE. Car [Jîg. 278), si AB est une parallèle à DE menée par A, AB sera située dans le plan ADE (492, 4°), et l'on sait que, dans un plan, on ne peut mener par un point qu'une parallèle à une droite (56).

494. Nous avons indiqué les positions relatives d'une droite et d'un plan, ainsi que celles de deux plans. Il nous reste, pour terminer ces préliminaires, à étudier les positions relatives de deux droites.

Deux droites AB et CD étant données d'une manière quelconque dans l'espace, le plan P, mené par AB el par un point quelconque D de CD, peut couper cette droite CD ou la contenir tout entière.

Dans le premier cas [Jîg. 275), il n'existe aucun plan qui contienne à la fois les deux droites AB et CD; car un tel plan ayant la droite AB et le point D communs avec le plan P coïnciderait avec lui, et, par suite, le plan P contiendrait la droite CD contrairement à l'hypothèse. Les deux droites AB et CD, n'étant pas situées dans un même plan, ne peuvent ni se couper ni être parallèles (492, 3" et 4'']«