LIVRE VII. LES CORPS RONDS

Le trapèze DABF engendrani un tronc de cône de révolution, on a aussi (766)

vol. DABF = ^- UF(bf' -i-Ân' 4- BF. AD).

Par suite,

vol. D A mBF = ^ t: DF ( Ab' + 2 Bf' H- 2Âd' -+- 9. BF. ad).. o

D'ailleurs, la corde AB est liée à la hauteur DF et aux rayons

Fig. 475.

BF et AD des bases du segment sphérique par la relation

Âb' = ÂË' + BË' =1)f' -4-(BF-AD)' —

Âb'=: DF' -f BF' H- AT)' — 2BF.AD.

En substituant celte valeur de AB et en simplifiant, il vient

vol. DAmBF = g -DF (df' -f- 3BF V 3Âd'), ce (|u'on peut écrire

vol.DAmBF = ;^T:DFV - (r Bf' .DF + ttÂd'.DF)

de manière à vérifier l'énoncé (861, 746).

Si le segment considéré n'a qu'une base, c'esl-à-dire si (^h- 476J le |)oini D vient occuper l'une des extrémités du diamètre ay, on a simplement

vol.D/;iBF=^,4-l)i''-i---BF'.DF.

2ï4 GÉOMÉTHIR DANS l'eSPACE.

SCOIIE.

867. Quand le segment sphérique n'a qu'une base {/ig.^']6), on peut exprimer son volume V en fonction de sa hauteur

Fig. '176.

DF=:/i et du rayon R de la sphère. On a d'abord, d'î:>près la formule précédente,

D'ailleurs (223), d'où

ou, en simplifiant,

On peut trouver directement cette formule, en regardant le segment à une base comme la somme ou la différence du secteur sphérique terminé à la même calotte sphérique et du cône de révolution qui, ayant la même base que le segment, a son sommet au centre de la sphère. Le segment sphérique est la somme ou la différence des deux volumes indiqués, suivant qu'il est plus grand ou plus petit que la demi-sphère.

Dans le second cas [fig. 476), on a

V = ^7rUV«-^7rBF'(R-A);

dans le premier (même figure),

V^^ttU^// + ^7:RF (/t — R).