LIVRE Vir. — LES CORPS RONDS

878. Deux sections, Vunc S.fij>arallètc, l'autre ÇA) (inti-ponillèlc à In hase d'un cône ohlique à hase circulaire, sont toujours situées sur une même si)hère ;caT les deux sections circulairesA|B, etCD (y%. 482) doivent (873) être perpendiculaires à un même plan SAB passant par leurs centres, et le qu;idrilatère A|B, DC situé dans ce plan doit être inscriptible; les cercles A, B, et CD sont donc snr la sphère dont le grand cercle passe par les quatre points A,, B,, C, D.

Inversement, par deux cercles A, B, et CD placés sur la surface d'une sphère, on peut toujours faire passer deux cônes. — En effet, soient [Jig. 482) A|B, DC une section passant par le centre de la sphère et par les centres des deux cercles, et A.B,, CD les diamètres de ces cercles déterminés par la section A,B,CD; les i)lans de ces cercles seront perpendiculaires au plan sécant A|B,CD. Or, si l'on mène les droites A C et B, D,leur point de concours S sera le sommet d'un cône ayant pour base le cercle A.B, et passant par les poinis C et D. Mais l'angle DCS est égal à l'angle A,B, S : donc la section CD faite dans le cône par un plan perpendiculaire à A, B, DC sera un cercle ayant CD pour diamètre; donc ce cercle se confond avec le cercle CD de la sphère. II y a un second cône qui coupe la sphère suivant les mêmes cercles A|B| et CD ; son sommet est à l'intersection S' des deux diagonales B|C et A,D. Ces deux cônes peuvent, dans certains cas, dégénérer en cylindres.

879. Il résulte encore des considérations précédentes que, lorsqu'un cône S pénètre dans une sphère suivant un cercle k^^^, il en sort suivant un second cercle CD.

880. Dans un cône oblique à base circulaire, les centres des sections parallèles à la base sont distribués sur une même droite passant par le sommet; les centres des sections anti-parallèles à la base sont aussi placés sur une seconde droite passant par le sommet. Il importe de connaître la situation respective de ces deux droites.

Soit SAB la section principale du cône dont la base est le cercle décrit sur AB comme diamètre. Le cercle circonscrit au triangle ASB |yî"<»^. 483) est un grand cercle de la sphère qui contient le cercle AB et lo sommets du cône. La tangente SG au cercle SAB est la trace sur SAB du plan tangent à la sphère en S, et ce plan tangent est perpendiculaire au plan SAB de la figure; d'ailleurs, la droite SG est anti-parallèle à AB, à cause de régalité des angles BAS, BSG. Donc le |)lan langent SG est parallèle aux plans des sections anti-parallèles à la base AB, et la question se réduit à trouver le centre d'une section quelcomiue [)arallèle à ce plan langent. Nous choisirons celle qui passe par le point de concours T des tangentes en A et enB au cercle ASB, c'est-à-di reparle sommetTdu côno(iiii est circonscrit à la sphère suivant lo cercle AB. En menant par le point T

2^4 GÉOMÉTRIE 1)A^S l'esPACIÎ.

la parallèle CTD à SG, on aura le diamètre de celte section. Or il est aisé de voir que le point ï en est précisément le centre, c est-à-dire que le

Fig. 483.

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