TA

point T est le milieu de CD. En effet, l'iingle TBD, égal à SBK, a pour mesure la moitié de l'arc SIB ; l'angle TDB, alterne-interne de BSG, a la même mesure; donc le triangle TBD est isocèle et l'on a TD = TB.On voit pareillement que TC = TA ; par suite, comme TA = TB(lo8), on a TC — TD. Ainsi, le lieu des centres des sections cinti- parallèles à la base AB est la droite ST, qui joint le sommet S au sommet T d'un cône auxiliaire circonscrit, suivant le cercle AB, à la sphère déterminée par ce cercle et par le sommet S du cône primitif.

THÉORÈME

881. Le lieu des tangentes, menées par un point d'une surf ace aux diverses courbes que ton peut tracer par ce point sur la surface, est un plan.

Soient M le point donné, AMA' une section plane passant par ce point, et BB', ce,.. . des sections voisines faites par des plans parallèles au premier {fi^. 484). Si l'on prend sur ces courbes les points P, Q,. . ., où la tangente est parallèle à MT, on obtiendra une courbe continue MPQ,. . ., située sur la surface. Soit INIU la tangente à cette courbe au point M; tout se réduit à prouver que le plan Ti\IU renferme la tangente MV à une courbe quelconque MG tracée par M sur la surface.

Or, soit M' le point où la courbe ]\1G rencontre la section BPB'; menons les cordes MF, MM', et projetons, parallèlement à MF, sur le plaii de la première section AMA', la section BFB' ; la courbe MM, B, ainsi obtenue sera tangente en M à MT. En effet, la tangente à la projection MM, B, doit être la projection de la tangente FS à la courbe de l'espace BPB' (874), et la projection de PS, parallèlement à MP, est précisé-

LES CORPS RONDS

menl MT, puisque, par hypothèse, PS et MT sont parallèles. Cela étant, si M, est la projection de M', le plan M, Jl P des deux cordes MM, et MP

Fig. 48',.

renferme sans cesse la corde MM'; par suite, la tangente MV sera contenue dans le plan limite de M|MP; or ce plan n'est autre que TMU, puisque les cordes MM, et MP ont re.-poctivement pour limites les tangentes MT et MU.

Ce plan, lieu des tangentes aux diverses courbes que l'on peut mener par le point M sur la surface, prend le nom de plan tangent de la surface au point M.

SCOLIIÎS.

8S2. La normale à une surface au point M est la perpendiculaire au plan tangent en ce point.

883. Le plan tangent en un point d'une surface est déterminé par les tangentes à deux courbes quelconques menées par ce point sur la surface.

884. Dans toute surface réglée, c'est-à-dire engendrée par une ligne droite, le plan tangent en un point contient la génératrice qui passe par ce point; il est alors déterminé par cette génératrice et par la tangente à une courbe quelconque menée par ce point sur la surface. Ce plan tourne en général autour de la génératrice. Il est pourtant une classe de surfaces réglées, pour lesquelles le plan tangent est le même tout le long de la génératrice, comme cela arrive (873) poar les cônes et les cylindres. Ces surfaces sont dites dévelnppables, tandis qu'on appelle gauches les surfaces réglées qui ne jouissent pas de cette propriété. Les Surfaces développables sont ainsi nommées, parce qu'on peut les étendre sur un plan sans les déchirer ni les replier. Considérons, en effet, une surface telle que les plans tangents soient les mêmes le long de chaque génératrice, c'est-à-dire ne changent qu'en pas>ant d'une génératrice; à l'autre : l'ensemble des plans tangents, suivant les diverses génératrices, formera

R. et DE C. — Tr. de Géom. (II" Partie). l5

226 GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE.

une surface polyédrique circonscrite, qui a pour limite la surface considérée. Or cette surface polyédrique peut être étendue sur un plan, en faisant tourner chaque face plane autour d'une arête, de manière à la rabattre sur le plan de la face précédente; 'et, comme cette propriété a lieu, quelque rapprochées que soient les génératrices, il en est de même à la limite poar la surface considérée.

885. Le plan tangent à une surface peut laisser la surface tout entière d'un seul côté; il y a alors un point de contact unique ou une ligne de contact; le premier cas se présente, par exemple, pour la sphère, le second pour le cylindre et le cône à base circulaire. Le plan tangent peut aussi couper la surface, et la section est alors une courbe à nœud : c'est ce qui arrive, par exemple, en un point de la gorge d'une poulie.

886. Enfin nous devons observer que le théorème précédent (881) cesse parfois d'être vrai en certains points singuliers, tels que le sommet d'un cône; en ce point, le lieu des tangentes forme, non pas un plan, mais la surface conique proposée. Il en est de même au point d'une surface de révolution situé sur l'axe, lorsque la méridienne rencontre cet axe sous un angle différent de 90 degrés. Ajoutons cependant que, si un point décrit sur la surface d'un cône une courbe bien déterminée et aboutissant au sommet, le plan tangent au cône en chacune des positions du mobile sur sa trajectoire est parfaitement déterminé, et il l'est encore au moment oi^i le mobile atteint le sommet du cône; c'est le plan tangent suivant la génératrice qui touche au sommet la courbe considérée.

THÉORÈME

887. Le plan tangent en un point M (Pune surface de révolutinn es( perpendiculaire au plan méridien ZO\I (pii passe par le point de contact

[fg. 485).

Fig. /,85.

En effet, le plan tangent on M contient la tangente MT au parallèle