LIVRE VII. — LES COUPS RONDS

La somme des faces dun angle polyèdre convexe devant être inférieure à quatre angles druils (o70), si les faces sont des trianiiles équiiatéraux, on ne peut assembler autour d"un même point, pour former un angle polyèdre, que trois ou quatre ou cincj de ces triangles. On construit ainsi : le tétraèdre régulier compris sous quatre triangles équiiatéraux ; Xoctaèdre régulier, compris sous huit triangles équiiatéraux: V icosni'drc régulier, compris sous vingt triangles équiiatéraux. Au delà, six triangles équiiatéraux assemblés autour dun même point donnent six angles plans dont la somme est égale à quatre angles droits; il n'y a plus d'angle polyèdre : les six triangles se trouvent développés dans un même plan.

On ne peut employer les carrés et les pentagones réguliers qu'en les assemblant par trois, puisque l'angle d'un carré est droilet que celui d'un pentagone régulier est égal à | d'angle droit. On a ainsi X hexaèdre régulier ou cube, compris sous six carrés égaux, et le dodécaèdre régulier, compris sous douze pentagones réguliers.

Aucun autre polyèdre régulier convexe n'est possible, puisque, l'angle d'un hexagone régulier étant égal à ^ d'angle droit, trois angles d'hexagone régulier font en somme quatre angles droits.

Nous prouverons l'existence des cinq polvèdres réguliers énoncés, en montrant comment on peut effectuer leur construction.

PROBLÈME