Construire un polyèdre régulier, connaissant son arrtc

La construction du tétraèdre régulier {//^. 49^)61 celle du cube {^g. 493) ne peuvent offrir aucune difliculté, d'après ce qui a été dit aux n"' S91 et 64.^. Nous ne nous occuperons que de l'octaèdre, du dodécaèdre et de l'icosaèdre.

Fig. 493.

Octaèdre ré^tdier.

Prenons [^g. 494) un carré ABCD de côté a. Élevons en son ceniro 0

GÉOMÉTRIE DAKS l'eSPACE.

une perpendiculaire indéfinie, et portons de part et d'autre du point 0 sur cette perpendiculaire une longueur égale au rayon du carré ABCD, c'est-

a-direa —^' Enjoignant les points S et S' ainsi obtenus aux sommets

FifT. h

A, B, C, D, on forme un octaèdre régulier SABCDS'. En effet, les huit arêtes SA, SB, . . . , S' D sont égales entre elles et <\

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S/O^ ^OA -^^^^-^ = n.

Les huit faces du polyèdre construit sont donc des triangles équilaléraux égaux. De plus, les six angles polyèdres sont égaux entre eux ; car les angles S et B, par exemple, sont les angles au sommet de deux pyramides quadrangulaires régulières SABCD, BASCS', évidemment superposables comme ayant même base et même hauteur.

On peut résumer la construction de l'octaèdre régulier en remarquant que irois droites égales et perpendiculaires entre elles en leur milieu, telles que AC, BD,SS',ont pour extrémités les six sommets d'un pareil polyèdre.

Dodécaèdre régulier.

Soit [fïg. 495) un pentagone régulier ABCDE de côté a. Prenons d'autres pentagones réguliers de côté n. Avec deux de ces pentagones joints au pentagone ABCDE, formons en A un angle Irièdre qui, ayant ses faces égales, aura aussi ses angles dièdres égaux. Les trois côtés BA, BC, BiH déterminent alors un angle trièdre B, égal à l'angle trièdre A, comme ayant un angle dièdre égal compris entre deux faces égales entre elles et chacune à chacune. On peut donc former à tous les sommets du penta-

LIYUE VII. — LES CORl'à RONDS. " 23y

gone ABCDE des angles trièdres égaux à A, en employant des pentagones réguliers égaux à ce pentagone et disposés comme l'indique la figure. Le pentagone ABCDE est commun à tous les angles Irièdres : le deuxième, le troisième et le quatrième trièdre nécessitent l'addition dun nouveau pentagone; le dernier angle trièdre en E se trouve tout construit.

Fig. 495.

On obtient ainsi un assemblage de six pentagones réguliers égaux et également inclinés. Cet assemblage constitue une surface polyédrale ouverte, moitié du dodécaèdre , et les sommets du décagone i^aïu/ic (') FGHIKLMNPR qui la termine correspondent successivement à un et kdcux pentagones. D ailleurs les angles de ce décagone sont égaux entre eux; en effet, les deux angles trièdres en A et en F sont égaux comme ayant un dièdre égal compris entre deux faces égales entre elles et chacune à chacune. Langle RFG est donc égal à l'angle EAB et, par suite, à l'angle FGll. On peut alors fiiire tourner le polygone FGHIKLMNPR sur lui-même, en faisant passer le sommet F en G, le sommet G en H, etc., sans qu'il cesse de coïncider avec sa première position. l

Si l'on construit de la môme manière la seconde moitié du dodécaèdre et si on la retourne pour l'opposer à la première moitié, on pourra, d'après cela, rapprocher les deux calottes polyédrales et appliquer l'un sur

(') Ce décagone est gauche ; car si los quatre points R, F, (i, H étaient dana Un même plan, eu plan cuntcnant aiis&i lu point A, il n'y aurait plus d'an(jlo trièdre eu A.

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

l'autre les polygones qui les terminent, en établissant la coïncidence des sommets du premier où il n'y a quitn pentagone et des sommets du second qui en réunissent deux. Comme les plans de ces pentagones ont déjà entre eux l'inclinaison nécessaire pour composer un angle trièdre égal à l'angle A, l'ensemble obtenu sera bien un dodécaèdre régulier compris sous douze pentagones réguliers égaux formant vingt angles trièdres égaux.

Icosaèdre régulier.

Prenons [fg. 496) un pentagone régulier ABCDE de côté a. Élevons en

l-'iSj. /196.

son centre 0 une perpendiculaire et, dans le plan déterminé par le rayon OAet cette perpendiculaire, décrivons du point A comme centre, avec a