LIVRE VII. — LES COUPS RONDS

pour rayon, un arc de cercle qui coupera la perpendiculaire au point S;

car fl est plus grand que OA = a \ / ^« Les arêtes SA, SB, ... , SE

seront égales entre elles et à a. Far suile, la surface latérale de la pyramide pentagonale SABCDE sera formée de cinq triangles équilatéraur. égaux entre eux et également inclinés, puisque les angles trièdres isocèles en A, B, . . . , E sont égaux entre eux comme ayant leurs trois faces égales chacune à chacune.

Cela posé, en chacun des sommets A et B du triangle SAB, plaçons (comme l'indique la seconde figure) le sommet d'une pyramide identique à la première SABCDE, de manière que les deux nouvelles pyramides ABSEFG, BASCHG aient respectivement avec la première les faces communes ASB et ASE, BAS el BSC, et entre elles les faces communes ASB et ABG. Nous aurons ainsi un assemblage de tiix triangles équilatéraux égaux et également inclinés.

Cet assemblage forme une surface polyédrale ouverte, moitié de l'icosaèdre, elles sommets de l'hexagone gauche (') CDEFGH qui la termine réunissent successivement deux et imis triangles D'ailleurs, les angles de cet hexagone sont égaux : l'angle DEF, par exemple, est égal à l'angle EFG, car tous deux sont évidemment égaux à l'angle EAG. On peut donc faire tourner le polygone CDEFGH sur lui-même, en faisant passer le sommet C en H, le sommet H en G, etc., sans qu'il cesse de coïncider avec sa première position.

Si l'on construit de la même manière la seconde moitié de l'icosaèdre et si on la retourne pour l'opposera la première moitié, on pourra donc rapprocher les deux calottes polyédralcs et appliquer l'un sur l'autre les polygones qui les limitent, en faisant correspondre les sommets de l'un qui réunissent trois triangles aux sommets de l'autre qui en réunissent deux. Comme les plans de ces triangles ont déjà entre eux l'inclinaison nécessaire pour constituer alors en chaque sommet un angle polyèdre égal à l'angle S, l'ensemble obtenu sera bien un icosaèdre régulier compris sous vingt triangles équilatéraux égaux, formant douze angles pentaedres égaux.

SCOLIE

907. En ayant recours aux formules S = — et A = — du n" 695, on

(') l>e contour CDEFGH est gauche; car si les quatre points C. U, H, F ci.iiciit dans un même plan, les deux pentagones ABCDE, HSEF'G, qui ont déjà dans le plan CDE les souinicts B et E communs, seraient tous deux dans ce même ])lan, qui conlii'ndrait le point A en ntème temps que les points li, E, F; co qui est impossible, d'après ce qui précède.

U. el uu C. — Ir. de Geo/.i. (11* Partie). l6

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

forme facilement le tableau suivant, qui renferme les nombres des éléments des cinq polyèdres réguliers convexes, dont nous connaissons les nombres de faces :

. Tétraèdre régulier. . .

Hexaèdre régulier...

Octaèdre régulier...

Dodécaèdre régulier.

Icosaèdre régulier...

Le nombre des faces de l'hexaèdre et le nombre de côtés de ses faces sont respectivement égaux au nombre des sommets de l'octaèdre et au nombre d'arêtes de ses angles polyèdres. Il en est de même réciproquement pour l'octaèdre comparé a l'hexaèdre ; le nombre d'arêtes reste le même de part et d'autre. Les mêmes conditions sont remplies par le dodécaèdre et l'icosaèdre. On peut donc regarder les polyèdres réguliers convexes comme conjugués deux àdeux ; car le tétraèdre régulier, ayant autant de faces que de sommets, est conjugué à lui-même.

THÉORÈME

908. Tout polyèdre régulier convexe est inscriptible et circonscriptihle à la sphère.

Soient [fig. 497), dans le polyèdre régulier considéré deux fncea adjacentes ABCDE, ABC'D'E', dont 0 et 0' sont les centres.

Flg. '197.

Les perpendiculaires OK et O'K au côté commun AB se couperont en un même point K ; les perpendiculaires OS et O'S aux deux faces ABCDn',