LIVRE VII. — LES CORPS RONDS

gones convexes formés delà sorte autour de A ont deux à deux en commun deux sommets non consécutifs; ils ne peuvent pas former un angle polyèdre; mais, par la même raison, les pentagones étoiles ayant les mêmes sommets ont deux à deux une arête commune et donnent le dodécaèdre étoile (de septième espèce).

Cinquième position. — Le plan est AN' P. Le triangle AN'Pest isocèle, mais on peut démontrer que N'P est plus grand que AP.

Sixième position. — Le plan est AM'Q. Le triangle AM'Q n'est pas équilaléral, car M'Q est égal à AD, lequel est inférieur à AM'.

Septième position. — Le plan est ABCDE; c'est la face même du dodécaèdre ))rimitif.

A partir de là, le demi-plan, en achevant sa rotation, ne rencontre plus aucun sommet.

Le dodécaèdre ne peut donc fournir qu'un polyèdre étoile.

Nous laissons au lecteur le soin d'appliquer le même raisonnement à l'icosaèdre; la chose est encore plus simple, et l'on reconnaît de la sorte que l'icosaèdre ne donne que trois polyèdres étoiles.

PROBLÈME

923. Trouver l'espèce d'un polyèdre régulier, La relation d'Euler (i) S-4-F = A-4-2,

démontrée au n° G88, ne s'applique pas seulement aux polyèdres convexes; elle subsiste sans modification pour tout polyèdre jouissant de cette propriété qu'il existe, dans leur intérieur, un point tel que chaque demi-droite issue de ce point rencontre la surface en un point, mais en un seul. C'est ce que montre clairement la démonstration suivante que l'on peut substituer à celle du n° 688.

Imaginons une sphère ayant pour centre le point en question et, en considérant ce point comme centre de projection, projetons le polyèdre sur la sphère. A chaque face du polyèdre répondra un polygone sphérique ayant le même nombre n de côtés et dont l'aire aura (830) pour expression s — 2« -f- 4, s désignant la somme des angles de ce polygone sphérique. La somme des aires de tous les polygones sphériques ainsi formés, c'est-à-dire l'aire de la sphère, sera donc représentée par Is — 25;« -t- 4F et, comme dans le système d'unités adopté (813) l'aire de la sphère est égale à 8, on aura la relation

Or, d'une part, la somme des angles sphériques autour de la projection de chaque sommet du polyèdxe étant égale à 4. on a 2.^ == 4S. D'autre

a54 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

part, la projection de chaque arête du polyèdre formant un côté appartenant à deux polygones sphériques, on a 2« = 2A. La relation (2) devient donc 4S — 4A + 4F = 8, c'est-à-dire la relation (i).

Cette démonstration offre d'ailleurs l'avantage de montrer la route à suivre pour modifier la formule d'Euler de manière à la rendre applicable aux polyèdres réguliers étoiles. Il faut alors tenir compte à la fois de l'espèce du polyèdre considéré (918), de l'espèce de ses faces (91S) supposées toutes de même espèce, et de celle de ses angles polyèdres (916) supposés tous de même espèce. A cet effet, projetons le polyèdre donné sur la sphère inscrite ou circonscrite, en prenant pour centre de projection le centre de cette sphère (917).

Soient «le nombre des côtés de l'une des faces du polyèdre, «pie nombre qui en marque l'espèce, a l'aire sphérique que sa projection recouvre (917), s la somme des angles de ce polygone sphérique. Décomposons-le en triangles en joignant à ses sommets, par des arcs de grands cercles, la projection du centre de la face considérée. L'aire de l'un de ces triangles, ayant a pour somme de ses angles, sera, en prenant pour unités l'angle droit et le triangle trirectangle (847), a — 2. L'aire a qui contient n de ces triangles, sera a = 2a — 2«. Or 2a, c'est la somme des angles des n triangles ou la somme ^des angles du polygone augmentée de la somme des angles au sommet de ces mêmes triangles, somme qui est égale à 4?» puisque l'espèce de la face projetée est cp(916). Il vient donc

Soit Ë l'espèce du polyèdre ou le nombre exact de fois que sa projection recouvre la sphère dont l'aire est ici représentée par 8 (813); nous aurons Fa = 8E en désignant par F le nombre des faces.

On a d'ailleurs F/z = 2 A. A étant le nombre des arêtes du polyèdre. Quant à F^, elle représente la somme des angles de tous les polygones sphériques obtenus. Mais la somme des angles réunis autour de chacurx de leurs sommets, projection de toutes les faces de l'angle polyèdre correspondant vaut «r fois quatre angles droits, o- marquant l'espèce des angles polyèdres (916). On aura donc, s'il y a S sommets,

et en substituant les valeurs de a, /2, «dans la relation ci-desBus« il vient

Si l'on fait dans cette formule E = cp = o- = i, on retrouve la formule d'Euler, Au lieu de la formule que nous venons d'obtenir, Poinsot (Mémoire cité) trouve

Ah-2E = F-+-(7S,

parce qu'il ne tient pas compte de l'espèce de la face du polyèdreu

LIVKE VII.

LES CORPS RONDS

924. Dodécaèdre régulier de septième espace (Poinsot, quatrième espèce).

On l'obtient à l'aide de pentagones étoiles ou de seconde espèce, formant des angles trièdres de première espèce autour de chaque sommet d'un dodécaèdre régulier ordinaire (922). Ce nouveau polyèdre [Jîg. 5oo)

Fig. 5oo.

a donc vingt sommets (907). En désignant par m le nombre des arêtes d'un de ses angles polyèdres et par n le nombre d; s côtés d'une de ses faces, on a (693)

2 A = /« S et 2 A = // F ;

d'où l'on déduit (en faisant S = 20, w := 3, // = 5)

A=3o et F = 12,

La formule (I) donne ensuite, en faisant o- = 1, o .= 2, A — . 3o, F= n, S = 20,

2F = 24 -f- 20 — 3o ou E — 7.

Ce nouveau dodécaèdre est donc de sopliènic espèce.