SA ~ SB ~ SC

fi étant un nombre quelconque, on dit que le nouveau système de points A', B', C, ... est hnniothétique au système primitif ABC. . . , Suivant que le rapport À rP homothétie est positif ou négatif, les points homologues tels que A et A' sont situés d'un même côté ou de côtés différents par rapport au centre S d'hnmotlu'tic, et les deux systèmes ABC..., A'B'C... sont dits homothétrfjues directs ou hnmothétiques inverses.

La définition de l'homotliétie est donc la même pour les figures de l'espace et pour les figures planes (3o4). Toutefois, il n'est plus vrai de dire ici, comme dans le plan,fiue Ihomothétie inverse doime, abstraction faite de la posilion, les mêmes figures que l'homolhélie directe; Fêtant une figure quelconque de l'espace, si l'on construit, à l'aide d'un centre S arbitraire, la figure homothélique directe F' suivant le rapport k et la figure homothétique inverse F,, suivant le rapport — /-, les deux figures F' et Fj seront sYinetriques par rapport au point S (G^îS). Or on ne peut plus faire coïncider deux pareilles figures (673), tandis que dans le plan une rotation de 180 degrés autour du point S entraînait la coïncidence (354).

931. La fi:,ure liomothëtique d'une sphère est une sphère ; la démonstration est la même que celle du n" 3.').t. Par suite, comme un cercle peut toujours être considéré comme l'intersection de deux sphères, la figure honioth(''ti(iue d'une circnnjérence par rapport a un point quelroncpic de l'espace est une circonférence.

932. Le théorème du n" 3rj6 et sa démonstration subsistent. La figure honmtliétique d'une droite est une droite parallèle h la prcnnèrc, et Fangle de dru.v droites est égal à clui de leurs droites lioinidogues ( 3.-)7, 3o8)«

a6o GÉOMÉTRIE DANS l'f.SPACE.

Im Jtgure homotlieti<iiœ d'un pUui est tut phm puni Hèle au premier^ car, si l'on considère dans le plan donné une droite qui tourne autour d'un point A, dans chacune de ses positions cette droite aura pour homothétique une droite parallèle passant par un point fixe A' homothélique de A< Il résulte de là : i" (\\iun plan (pd passe par le eentre d'homothétie esta lui-même son homotliéticpte ; a** que l'angle de deux plans est égal à l'angle de leurs hnmotliétiqitcs.

Les tangentes en deux points homnlogues de deux courbes homothétiques sont parallèles, comme limites de sécantes parallèles. Par suite (883), les plans tangents en deux points homologues de deux surfaces honwthétiques sont parallèles.

933. Deux systèmes sont homothétiques, s'il existe dans l'espace deux points 0 et 0' tels, que les droites qui joignent le point 0 aux divers points du premier système, et les droites qui joignent le point 0' aux divers points du second système, soient parallèles et dans un même rapport /•; la démonstration est la même qu'au n° 360.

Il résulte de là que deux sj)hères quelconques sont à la fois homothétiques directes et homothétiques inverses (362 ) ; les deux centre, d'iiomothétie divisent harmoniquemenl la ligne des centres des deux sphères; ces centres sont en outre les sommets des deux cônes qu'on peut circonscrire aux deux sphères. Lorsque les deux sphères sont tangentes, leur point de contact est un centre d'homothétie, directe si le contact est intérieur, inverse si le contact est extérieur.

934. Le théorème du n°363 et sa démonstration subsistent. Ainsi, deux systèmes homothétiques à un troisième sont homothétiques entre eux, et les trois centres cP homothétie sont sur une même ligne droite, qu'on nomme axe d'homothétie des trois systèmes.

Trois sphères considérées deux à deux ont trois centres d'homothétie directe et trois centres d'homothétie inverse (933). Elles ont donc quatre axes d'homothétie : un axe d'homothétie directe qui contient les trois centres d'homothétie directe, et trois axes d'homothétie inverse qui renferment chacun deux centres d'homothétie inverse et le centre direct qui répond au troisième centre inverse. Ces quatre axes d'homothétie sont ceux des trois cercles (366) que l'on obtient en coupant les trois sphères par le plan qui passe par leurs centres.

935. Lorsque quatre systèmes P, P', P", P'" sont homothétiques deux à deux, leurs six centres dliomotJiétie sont situés dans un même plan.

En etTet, soient respectivement 0,, 0^, 0,, les centres d'homothétie do P et P', de P et P", de P ot P'" ; le pian 0, 0, 0, est à lui-même son homologue dans les systèmes, P yt P', puisqu'il contient leur centre 0,; il est

LTYIIF, VII. — lES CORPS RONDS. 261

aussi à lui-même son homologue dans les systèmes P et P", puisqu'il contient leur centre 0^. Donc ce môme plan est encore à lui-même son homologue d;ms les systèmes P' et P" (934); et, par suite, il contient leur centre d'homothétie. On prouverait de même que ce plan passe par les centres d'homothétie de P' et P'", et de P" et P'",

Ces six centres d'homothétie sont les sommets d'un quadrilatère complet dont les côtés sont les quatre axes d'homothétie des quatre système^ proposés pris trois à trois. Le plan de ce quadrilatère reçoit le nom do plan d'homothétie des quatre systèmes P, P', P", P'".

936. Considérons en particulier ler^-v de quatre sphères. Comme deux sphères sont à la fois homothétiques directes et homothétiques inverses, on aura douze centres dhoinotliétie, dont six directs et six inverses. Il est aisé d« voir qu'il y a huit plans d homothétie . En effet, imaginons le tétraèdre dont les sommets sont les centres des quatre sphères ; sur chaque face de ce tétraèdre, il y a six centres d'homothétie, trois directs et trois inverses (934). Considérons l'un 0 des six centres qui sont sur l'une des faces; ce point 0 appartient à deux droites A et B dont chacune passe par deux autres centres de la même face. D'ailleurs, ce même point 0 est commun à une autre face du tétraèdre, et, par suite, ii appartient également à deux autres droites Cet D situées sur cette seconde face. En combinant les deux droites A et B de la première face avec les deux droites C et D de la seconde, on obtient quatre plans, AOC, AOD, BOC, BOD, dont chacun passant par cinq centres d'homothétie renferme nécessairement le sixième centre correspondant. Ainsi, par chaque centre 0 de la première face, passent quatre plans d'homothétie; mais chacun de ces plans est commun à trois centres de cette même face. Donc le nombre total des plans d'homothétie est égal à huit.

937. Dt'ux figures de l'espace sont semblables lorstiue, par un déplacement convenable, on peut amener la seconde sur l'une des homothétiques directes de la première. Or, d'après le n° 930, pour avoir tous les systèmes homothétiques à un système donné, il n'est pas nécessaire de faire varier le centre; il sullit, en prenant un centre arbitraire, de faire varier /■ de o à oo (36i). Donc on obtiendra toutes les figures semblables à une figure donnée, en construisant, avec un centre pris à volonté, les surfaces homothétiques qui répondent à toutes les valeurs du rapport /, depuis zéro jusqu'à l'infini.

Ainsi deux sphères fjuelco/uptcs sont semblables (931 ).

La seule fii^iire semblable h une surjace conique est cette surface conique elle-même; car, si l'on prend le somnu't 0 pour centre d'homothétie, l'homologue A' d'un point (|uelcon(iuo A de la surface conique proposée est situé sur la i;ônératrice OA,

2t52 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

Enfin drux surfnrrs cy/in.-/riq(fc.s snnt hunnthétiqnex lorsque Intrx génératrice; snnt parallèles^ et leurs directrices deux courbes JiomntliC' tiques; car la figure homolliétique d'une droite estune droite parallèle. Par suite, les sections par un même plan de deux cylindres lionwtliétiques snnt deux courbes homothcticiues dont le centre est à la rencontre du plan sécant et de la parallèle aux génératrices menée par le centre d'homothétie des deux cylindres.

FIGURES HOMOLOGIQUES DANS l'eSPACE.

938, La nouvelle définition donnée au n° 732 pour les figures planes s'étend aux figures de l'espace, lorsqu'on remplace la droite fixe X par un pian fixe.

Ainsi, étant donnés un point fixe 0 et un plan fixe Q, si, sur chaque rayon 0-j. joignant le point fixe 0 à un point quelconque u. du plan Q, on prend deux points m et m' tels que le rapport anharmnnique [Oy-nim') ait une valeur constante )i, les points m et m' décrivent deux figures F et F' qu''nn dit HOMOLOGIQUES.

0 est le centre d'homologie, Q le plan d'homologie, et a le coefficient d'homologie.

Le point 0 est son propre homologue, et il partage cette propriété avec chacun des points du plan Q.

Au lieu de donner la constante >., on peut donner un premier couple [a, a') de points homologues. Alors, pour obtenir l'homologue d'un point quelconque /// de la première figure F, il suffit de prendre l'intersection /«' du rayon Om avec la droite a'B qui joint le point a' au point s, où la droite am rencontre le plan d'homologie. Ce tracé est la généralisation do celui du n" 729 et, d'après les considérations dévcloppé(>s au n° 732, il équivaut à la définition donnée ci-dessus.

939. Les sections faites dans les figures F et F' par un plan quelconque R passant par le centre d'homologie 0 sont évidemment deux figures homologiques planes ayant pour centre d'homologie le point 0, pour axe dhoinulogie l'intersection des plans Q et R, et pour coelTicient a.

D'après cela, à une droite quelconque de la figure F répond, dans la figure F', une droite coupant la première sur le plan d'homologie. Toute droite passant par 0 est sa propre homologue.

A tout plan P de la figure F répond, dans la figure F', un plan qui rencoiitriî le premier sur le plan d'homologie. En effet, soient A l'intersection du plan P et du plan d'homologie Q ; a \\n point fixe du plan P et a' son homologue; l'homologue m' d'un point quelconque/» du plan P appartient à la droite homologue de am; or le [)oiiit a où am rencontre A élantsou propre homologue, la droite amx a pour homologue aa' et, par

LIVIIK VII. — LES CORPS UONDS.

suite, le point /;/' e?t dans le plan (iélerniiné par le point a' et la droite A. Tout plan passant par le centre (lliomologie est son propre homologue. Si un plan est parallèle au plan dlioniologie, il en est de môme de .-on homologue ; par suite, si une figure F est située dans un |)lan parallèle au plan d'homologie, la figure homologue F' est semblable à la première.

940. Dans deux figures homologiques, le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal au rapport anharmonique des quatre points homologues.

Il en est de même pour un faisceau plan de quatre droites et pour le faisceau correspondant; pour le faisceau de quatre plans passant par une même droite et pour le faisceau formé par les plans homologues.

Le premier principe est évident, d'après la remarque faite en tête du numéro qui précède; les deux autres s'en déduisent immédiatement.

• 9il. Lorsqu'un point m' de la figure F' est à l'infini, l'égalité

(0(x/;//«') = ^ se réduit à

Donc tous les points à l'infini de la figure F' ont leurs homologues situés dans un plan U parallèle au plan d'homologie; ce plan est dit le plan limite de la figure F.

On est ainsi conduit à généraliser la notion acquise au n" 588, sur les points à l'infini d;ins un plan. Puisque tous les points à l'infini dans l'espace ont leurs homologues situés dans un plan, et que la figure homologue d'un plan est un plan, on doit considérer tous les points h V infini dans r espace comme étant situés dans un même plan qu'on nomme plan à l'infini; ce plan contient les droites ^ l'infini de tous les plans de l'espace.

Mais revenons aux figures homologiques. La figure F' a aussi son plan limite V qui répond aux points à l'infini de la figure F ; et l'on voit, comme au n° 732, que le rapport des dislances du plan limite U au centre 0 et au

plan Q d'homologie est égal à X, tandis que ce rapport est égal à y pour

le plan limite V.

Étant donnés une figure F, son plan limite U, ainsi que le centre 0 et le plan Q d'homologie, on obtient l'homologue m' d'un point quelconque m de la figure F de la manière suivante : p Gl fj étant les points où une droite menée par /// rencontre les plans U et Q, on mène par le point*/ la parallèle au rayon Op, et l'on prend l'iiilerseclion /// <le celte droite (homologue de pnnj) avec le rayon Om.

204 GÉOMÉTRIE DANS I.'esPACE.

942. Pour 1 = — I, l'homologie est dite /un-nionujuc ; les deux plans limites se confondent avec le plan qui est équidistant du centre et du plan d'homologie.

Quand le plan d'homologie est à l'infini, l'homologie devient homothétie. Si, de plus, l'homologie est alors harmonique, on est ramené à la symétrie par rapport à un centre.

Lorsque le centre d'homologie est à l'infini, l'homologie devient affinité ; la seconde figure se déduit de la première en dilatant dans un rapport constant ses ordonnées normales ou obliques par rapport au plan d'homologie. Si, de plus, l'homologie est alors harmonique, on est ramené à la symétrie (normale ou oblique) par rapport à un plan.

9i3. Nous montrerons plus tard les ressources qu'offre à la Géométrie pure la transformation homologique. Nous nous bornerons à signaler ici une des plus intéressantes applications pratiques de celte théorie; nous voulons parler de la construction des bas-reliefs, c'est-à-dire de ces figures qui forment une faible saillie sur le mur d'un édifice et à l'aide desquelles on représente un sujet ou une scène quelconque. Le basrelief F et la scène F' qu'il représente sont deux figures homologiques. Soit 0 l'œil du spectateur qui est en avant du mur, tandis que la figure F' est supposée en arrière; désignons par a' le point de F' qui est le plus voisin du mur, et par P' le plan mené parallèlement au mur par le point le plus éloigné. On prend le point 0 pour centre d'homologie, le plan P du mur pour plan homologue de P', et l'on se donne à volonté, un peu en avant du mur, le point a qu'on veut faire correspondre au point a' et qui sera le point le plus saillant du bas-relief. Ces données, c'est-à-dire le centre d'homologie 0, un couple («, a') de points homologues et un couple (P, P') de plans homologues, suffisent évidemment pour déterminer la figure F homologue de F', m' étant un point quelconque de F', on prend l'intersection // de la droite a' m' el du plan P'; le rayon Ob' donne, par sa rencontre avec le plan P, l'homologue b de b' ; par suite, l'intersection /n de ab et du rayon 0/«'est le point m du bas-relief qui répond au point m' de la figure à représenter. On pourrait aussi commencer par déterminer, à l'aide de ces données, le plan d'homologie, et opérer ensuite à l'aide du plan et du centre d'homologie, et du couple [a, a').