POLE ET PLAN POLAIRE PAR RAPPORT A LA SPHÈRE

944, Un point 0 et une sphère C étant situés cVune manière quelconque dans Vespace, si par le point 0 on mène une sécante quelconque OFE (7?^. 2i6 et 217, n" 3-iO), et qu^on détermine le conjugué harmoniqueX du point 0 par rapport à EF, le lieu géométrique du point I, lorsque

TÎVRK VIÏ. — TES CORPS RONDS.

la sécante tourne autour du point U, est un plan P perpendiculaire au diamètre AB (fui passe par le point 0 ; car, dans chaque plan mené par OC, le lieu est une droite ( 340) perpendiculaire au diamètre AB et menée par le point H, conjui;ué harmonique de 0 par rapport à ce diamètre.

On dit que le point 0 e>;t \e pôle dû plan P, el que le pian P est le jdan polaire du point 0 par rapport à la sphère C.

Le plan polaire P d'un point 0 est évidemment le lieu des polaires du point 0 par rapport à tous les cercles de la sphère dont les plans passent par 0.

Le rayon de la sj)hère est moren proportionnel entre les distances du centre au pôle et au plan polaire. La discussion des positions du pôle et du plan polaire par rapport à la sphère est la même qu'au n" 3 il. Nous remarquerons seulement qne^lorsrjue le pôle est extérieur à la sphère, le plan polaire est le plan de la circonférence de contact du cône cpti est circonscrit à la sphère et cpd a le pôle pour sommet.

94S. Les plans polaires de tous les points d'un plan passent par le pôle de ce plan; et inversement, les pôles de tous les plans qui passent par un même point sont sur le plan polaire de ce point. La démonstration du n" 3i2 subsiste; seulement, XY [fii^. 218) représente alors la projection, sur le plan considéré, de la droite CO qui joint un point quelconque Ode ce plan au centre C de la sphère.

Il résulte de là que, si chacun des points d'un plan P est pris pour sommet d'un cône circonscrit à la sphère, les plans des cercles de contact passent tous par un même point p, pôle du plan P; inversement, «', suivant chacun des cercles de la sjjhrre dont les plans passent par un même point p, on circonscrit un cône à la sphère, les sommets de ces cônes sont tous dans un mé/ne plan P, rjui est le plan polaire du point p.

94G. Soient une sphère dont le centre est 0 et une droite quelconque

Fig. So.'j.

Pi A M B

AB {ftg. 5o4). Prenons le pôle A' de Ai> par rapport au grand cercJQ

266 GfiOlMf'TRIE DANS l'f.SPACK.

ECFD situé dans le plan AUB,et par le point A' élevons la perpendiculaire À'B' à ce plan AOB ; on voit que, réciproquement, la droite AB est la perpendiculaire au plan OA'B' élevée par le pôle A de A'B' par rapport au grand cercle EIFK situé dans le plan OA'B'. Les deux droites AB, A'B' ont reçu, d'après cela, le nom de droites léciprofjurs par rapport à la sphère 0.

Quand deux droites sont réciproques par rapport à une sphère, chacune d'elles est le lieu des pôles de tous les plans passant par l'autre ; ou, ce qui revient au même, chaccne (Pelles est r intersection commune des plans polaires des divers points de l'autre. En effet, le plan polaire d'un point quelconque M de AB est perpendiculaire au plan FCE, et sa trace sur ce plan est la polaire du point M par rapport au cercle F'CE. Cette trace passe donc (342) par le point A' qui est le pôle de AB par rapport au cercle FCE. Par suite, le plan polaire CID du point M renferme la droite A'B'.

Il résulte de là que, lorsque deux plans sont tangents à la sphère, leur intersection est jéciproqnc de la droite qui unit les deux points de contact, car ces points de contact sont les pôles des plans tangents.

Remarquons enfin que la droite AB est le lieu des pôles de saréciprocjue A'B' par rapport a tous les cercles de la sphère dont les plans passent par A'B'. En effet. A' étant le pôle de la droite AB par rapport au cercle FCE, si N est le point où la droite AB rencontre le diamètre CD d'un cercle quelconque CID conduit par A'B', les points C, A', D, N forment un système harmonique; doncN est le pôle de A'B' par rapport au cercle CID.