LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. «7I

Aï. Fouché, à indiiiuer sommairement et parfois même sans démonstration, la suite des propositions qui mènent à la règle finale.

1° Toute sphère 'a qui passe par deux points a et a' homologues de deux sphères fixes 0 et 0' est isngonale à ces deux sphères; et, réciproquement. On se rend compte de celte proposition en considérant le plan des trois centres et se reportant au n° 400'.

La droite aa' passe par l'un C des centres de similitude de 0 et de 0', et le produit C«.Ca' exprime à la fois la puissance de C par rapport à u et le module de l'inversion qui, ayant C pour pôle, trans- Jorme les sphères 0 et 0' l'une dans l'autre. Comme il y a deux centres de similitude, on peut énoncer le théorème suivant :

Les sphères isogonales à deux sphères données 0 et 0' se répartissent en deux groupes suivant qu'elles ont pour centre radical l'un ou l'autre des deux centres de similitude.

Les sphères tangentes à 0 et 0' appartiennent au premier ou au second groupe suivant que leurs contacts avec 0 et 0' sont de même espèce ou d'espèces différentes.

1" Les sphères isos;onalcs à trois sphères fixes 0, 0', 0", se répartissent en quatre familles ; 1rs sphères d'une même famille ayant pour axe radical l'un L des quatre axes de similitude des sphères 0, 0', 0".

Le lieu des centres des sphères d'une même famille est le plan perpendiculaire à L mené par l'axe radical de 0, 0', 0".

Les plans radicaux de chaque sphère d'une même famille avec l'une des trois sphères données coupent L au même point.

3° Parmi les sphères isogonales à 0, 0', O' se trouvent en particulier les sphères to tangentes à ces trois sphères données. Le plan radical de 0 et d'une sphère oj devient alors le plan tangent au point T où t»> louche 0. Il doit couper l'axe de similitude L en un point H qui reste fixe quand w varie; il enveloppe donc le cône qui ayant pour sommet H est circonscrit à la sphère 0. Le lieu des points de contact T est un cercle, et comme il y a un tel cercle par famille, on a cet élégant théorème

Le lieu des points de contact des sphères tangentes à trois sphères fixes avec l'une de ces sphères se compose de quatre cercles. (Du- PUis, Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, t. I.)

4° Les sphères isogonales à quatre sphères fixes 0, 0', 0', 0" se répartissent en huit jaisceaux; les sphères d'un même faisceau ont pour plan radical l'un P des huit plans de similitude des quatre sphères données.

La démonstration est analogue à celle du n* 400'.

Le lieu des centres des cercles (f d'un même faisceau est la perpeo*

diculaire menée du centre radical des quatre sphères données sur le plan de similitude considéré P.

Soit (H) la droite suivant laquelle le planP rencontre le plan radical de l'une des sphères «p et de l'une des sphères données, 0 par exemple, Lorsque <p varie (en appartenant toujours au même faisceau), la droite (H) reste fixe, car tous les points de cette droite conservent la même puissance par rapport à «p et à 0.

De là résulte la construction d'une sphère tangente à quatre sphères données 0, 0', 0', 0'" :

Après avoir choisi troix centres de similitude de la sphère donnée 0 avec les trois autres sphères données 0', 0", 0'", on prend arbitrairement sur 0 un point quelconque M dont on cherche les antihomologues M', M', M'" sur 0', 0", 0'". La sphère qui passe par M, M', M", M"' coupe la sphère 0 suivant un cercle dont le plan rencontre, suivant une droite (H), le plan des trois centres de similitude considérés. Par la droite (H) o« mène un plan tangent à la sphère 0; A étant le point de contact, on construit ses antihomologues A', A*, A'" par rapport à 0', 0', 0'". La sphère qui passe par A, A', A', A* répond à la question.

n y a seize solutions.

Mais la discussion serait beaucoup plus compliquée que dans le cas du problème plan (n° 401'). Il n'est pas vrai d'ailleurs que les seize solutions soient réelles toutes les fois que les quatre sphères données sont deux à deux extérieures

961. La plupart des auteurs qui se sont occupés du problème relatif à la sphère tangente à quatre sphères données (Gaultier de Tours, Journal de l'École Polytechnique, t. IX; Hgegmann, Mémoires de l'Académie de JJlle, iSaS; J.-A. Serret, Journal de Crelle, t. XXXVII, et Nouvelles Annales) ont fondé leur démonstration sur le théorème de Dupuis. Au lieu de suivre cette marche, qui rompt l'analogie avec (a Géométrie plane, nous avons tenu à conserver cette analogie, et l'on peut constater que le raisonnement employé au n° 960 n'est que l'extension naturelle de celui déjà fait au n° 400. Le théorème de Dupuis n'en est alors qu'un corollaire immédiat, comme nous venons de le voir. On peut toutefois en désirer une démonstration directe. Une des plus simples repose sur la remarque du n° 9S9 :

Considérons la figure formée par les trois sphères fixes Si, S2, S3, la sphère variableXqui les touche ; transformons cette figure de façon que Si, Sj, S3 deviennent trois sphères 2i, 22, '^3 ayant leurs centres o-i, t^, 0-3 en ligne droite. La transformée $ de X touchera Xi, 22, I3 et le lieu de son point de contact ^v§ç l'une quelcontî"© de ces sphères sera évidemment