RÉCIPROQUES

932. La définition du n° 384 s'applique à des points A, B, G, . . . , situés d'une manière quelconque dans l'espace.

Le cercle d'inversion devient alors une sphère, et, lorsqu'on fait varier le rayon de cette sphère sans déplacer son centre, les figures inverses de la figure donnée ainsi obtenues sont homothétiques (385) entre elles.

953. Un plan L et une sphère 0 quelconque peuvent être considérés comme deux figures inverses l'une de l'autre (388). La figure inverse d'un plan L est une sphère 0 passant par l'origine ; et la figure inverse d'une sphère 0, par rapport à l'un quelconque de ses points pris pour origine, est un plan L perpendiculaire au diamètre passant par l'origine.

On voit aisément que :

1° Si plusieurs cercles situés dans un même plan ont le même centre radical, l'inversion les transforme en cercles dont les plans passent par un même point.

2° Si plusieurs cercles situés dans un même plan ont le même axe radical, l'inversion les transforme en cercles dont les plans passent par une même droite. "

954. Deux sphères quelconques 0 et 0' peuvent être considérées comme deux figures inverses l'une de l'autre (390). La figure inverse d'une sphère 0, par rapport à un point S extérieur ou intérieur pris pour origine, est une autre sphère 0'.

953. L'inverse d'une circonférence G par rapport à un point quelconque S de l'espace pris pour origine est une autre circonférence G . Gar, la circonférence G étant considérée comme l'intersection de deux sphères 0 et 0', son inverse est l'intersection des deux sphères 0' et O'i, inverse des sphères 0 et Oi, c'est-à-dire un cercle.

Il résulte immédialement de la définition des figures inverses que /row couples quelconques a et a', b et b', c et c', des points correspondants de deux figures inverses sont situés sur une même sphère. Donc une circonférence quelconque C et son inverse G' appartiennent à une même sphère, et par suite (878) elles sont des sections antiparallèles d'un même cône oblique qui a l'origine S pour sommet. De là le moyen de tiouver le centre de la circonférence G' inverse d'une circonférence G; ce centre est (880) sur la droite qui joint l'origine S au sommet d'un

LIVRK Yll, — LES CORPS RONDS. 269

cône auxiliaire, circonscrit suii'ant le cercle C à la xphère déterminée par la circonférence C et le point S.

956. La formule du n" 386 et sa démonstration subsistent. Quant au théorème du n° 387, il s'applique aussi à deux lignes quelconques de l'espace; mais une nouvelle démonstration est nécessaire.

Et d'abord on démontre, absolument comme au n° 387, en considérant {fig. 240 ) une ligne quelconque plane ou gauche MN et son inverse M'N', que leurs tangentes MT, M'T' font des angles égaux TM.M', TM'M avec le rayon vecteur SMM'. Cela étant, soient {/îg. 241) deux courbes gauches MA et Mrt qui se coupent en M, et les courbes inverses M'A', M'a'; il faut prouver que l'angle des deux premières, c'est-à-dire l'angle fMTde leurs tangentes, est égal à l'angle /M'T des deux autres. Or on a, d'après l'observation précédente,

t MM' = t M' M , TMM' = T M' M ;

donc le trièdre formé par les droites MM', MT, M/, et le trièdre formé par les droites M'M, M'T, Wt, ont un angle dièdre égal MM' compris entre deux faces égales chacune à chacune; ces deux trièdres sont donc symétriques et, par suite, les troisièmes faces TM/, TM'f sont respectivement égales.

937. L^angle de deux surfaces F et Fi, en un point quelconque m de leur ligne d'intersection anib, est égal à l'angle sous lequel les surfaces inverses F' et Y\ se coupent au point correspondant m'.

En effet, menons par m sur les surfaces F et ¥% deux courbes mp et mpi à angle droit sur la ligne d'intersection amb', leurs inverses m' p' et m'p\ couperont (936) à angle droit la ligne a' m'b' commune aux surfaces F' et F'i, et de plus l'angle des deux premières courbes mp et mpi sera égal à celui de leurs inverses m' p' et m' p\. Or l'angle des courbes mp et mpx mesure l'inclinaison mutuelle des deux surfaces F et Fj au point m, et l'angle de m'p' et rn'p\ mesure l'inclinaison mutuelle des deux surfaces F' et F', au point correspondant m' .

Puisque l'inversion conserve les angles des surfaces, les sphères inverses de deux sphères tangentes sont aussi tangentes; d'ailleurs on voit, comme au n" 393, que le contact entre les deux nouvelles sphères et le contact entre les deux sphères primitives sont semblables ou dissemblables suivant que les puissances du centre d' inversion par rapport aux deux sphères primitives ont le même signe ou des signes opposés.

Les lignes et les surfaces inverses jouissent, relativement à la courbure, de propriétés très importantes que nous ne pouvons pas développer ici. Nous renverrons sur ce sujet aux Mémoires déjà cités dans len°3'J8, et à un Mémoire de M. Hirst, Annales de Tortolini, t. II, 1859.

GËOUËTRIB DANS l'bSPACB.

Applications.

938. Voici quelques applications des principes qui précèdent.

On nomme projection stéréographique d'une figure sphérique la perspective de cette figure faite en prenant pour point de vue S un point de la sphère, et pour plan de projection ou tableau le plan P du grand cercle dont le pôle est au point de vue S.

D'après le n" 9o3, on peut considérer le plan diamétral P comme l'inverse de la surface sphérique, en prenant pour origine le point S et pour puissance le double da carré du rayon de la sphère. La projection stéréographique n'est donc qu'un cas particulier de la transformation par rayons vecteurs réciproques, et l'on peut énoncer les propositions suivantes qu'on utilise dans la construction des mappemondes :

1° Les projections stéréo graphiques de deux lignes tracées sur la sphère se coupent sous le même angle que ces lignes elles-mêmes ;

a" La projection stéréographique d'un cercle de la sphère est un cercle dont le centre est la perspective du sommet du cène circonscrit à la sphère suivoju le cercle proposé.

La projection stéréographique a été connue des Grecs : Ptolémée l'a décrite sous le nom de planisphère, et les auteurs du moyen âge l'appelaient astrolabe La construction du centre est due à M. Chasles.

939. On peut toujours transformer un groupe de trois sphères données en un groupe de trois autres sphères ayant leurs centres en ligne droite; le lieu de l'origine ou du pôle de transformation est la circonférence qui coupe à angle droit les grands cercles des sphères données situés dans le plan des trois centres. En effet, il est évident que les pôles de transformation doivent être dans le plan des trois centres, et que ..out revient à transformer les grands cercles situés dans ce plan en trois autres ayant leurs centres en ligne droite. Or, si l'on prend pour pôle un des points de la circonférence qui coupe orthogonalement ces trois grands cercles, cette circonférence orthogonale se transforme en une droite qui coupe à angle droit les transformées des circonférences données et qui, par suite, contient les centres de ces transformées.