LIVRE V. — LE PLAN

égaux. En efîei, par deux points B et C pris à volonté et respectivenienl sur les côtés de l'angle A, menons des parai-

Fig. 282.

N- Il

jx^

lèles à AA' jusqu'à leur rencontre B' et C avec les côtés de l'angle A'; les droites BC, B'C sont parallèles comme intersections des deux plans parallèles BAC, B'A'C avec le plan BB'C'C. Donc les deux triangles BAC, B'A'C ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun, comme parallèles comprises entre parallèles, et les angles BAC, B'A'C sont égaux.

On prouvera d'ailleurs, comme en Géométrie plane, que deux angles dont les côtés sont deux à deux parallèles et de sens contraires sont égaux, et que deux angles dont deux côtés sont parallèles et de même sens, tandis que les deux autres sont parallèles et de sens contraires, sont supplémentaires.

SCOLIES

507. Sur une droite quelconque MN ^Ji^. 282), il y a deux sens à distinguer: le sens de MN et celui de NM.

On appelle angle de deux droites, dont la position dans l'espace et le sens sont donn-és, l'angle que l'on forme en menant par un point quelconque de l'espace, à chacune des deux droites données, une droite parallèle et de même sens. Ainsi MN et PQ étant les deux droites données, par un point quelconque A de l'espace, menons AB parallèle à MN et de même sens, AC parallèle à PQ et de même sens ; l'angle BAC sera, par définition, l'angle des deux droites MN et l'O.

P.our que celle définition n'offre rien de contrudicloire, il faut que la grandeur de l'angle ainsi obtenu soit indépendanle de la position qu'occupe dans l'espace le point par le(|ucl on mène des parallèles aux droites données. Or soient HAC, B'A'C les valeurs obtenues pour l'angle de MN et de I\>,

ÏO GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

lorsqu'on mène à ces firoiles des parallèles par deux points difiorents A et A'; les droites AC et A'C, étant chacune parallèles à MN et de même sens que celte droite, sont parallèles entre elles et de même sens (198); il en est de même pour ABetA'B'; par suite, les deux angles BAC, B'A'C sont égaux.

508. On dit que deux droites non situées dans le même plan sont perpendiculaires Cune à Vautre lorsque leur anglç est droit.

On voit, par la définition même de l'angle de deux droites, que, lorsque deux droites sont perpendiculaires entre elles, toute parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.

THÉORÈME

509. i*" Les parallèles AB et CD, comprises entre une droite AC et un plan P parallèles, sont égales [Jîg. aSS).

a° Les parallèles AB et CD, comprises entre deux plans parallèles P et Q, sont égales [fig. 283).

Celte double proposition résulte de ce que le plan des deux parallèles AB et CD coupe, dans le premier cas, le plan P suivant une parallèle BD à AC, et coupe, dans le second cas, les plans P et Q suivant des droites parallèles BD et AC (49o) ; les droites AB et CD sont donc, dans les deux cas, égales comme parallèles comprises entre parallèles.

Fig. 283.

/Hi7

Fig. 284.