Établissons d'abord un lemme

Soit AiA2A3At un tétraèdre, k étant l'un quelconque des indices 1,2, 3, 4, désignons par Sk l'aire de la face opposée au sommet A*, par MPa la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque M de l'espace sur le plan de cette face, et par Xk le nombre qui mesure la longueur de cette perpendiculaire, précédé du signe -!- ou du signe — suivant que le point M et le sommet A^. sont d'un même côté ou de côtés différents par rapport au plan de la face Sk.

Les quantités x», Xj, xs, x^^ reçoivent le nom de coordonnées te'traédriques du point M.

Fig. 5oJ.

Les coordonnées lélraedriijius il' un point quelconque M de l'espace satisfont à la relation

V étant le volume du tétraèdre.

En effet, les plans des faces du tétraèdre indéfiniment prolonges partagent l'espace en quinze régions; ce sont [fig. 5o5) ;

R. et DB C. — Tr. d« Gfom. (U« Partie). 18

27d GEOMETRIE DANS L ESPACE.

L'espaco A, A^A^A^ occupé par le lélraèdre;

Le tiièdrc k^a^x^oL^^ opposé par le sommet au trièdre A, du tétraèdre; il y a quatre trièdres de ce genre, un relatif à chaque sommet;

Le tronc de pyramide indéfini ^.,^^^,o.^a^a,, qu'on obtient en retranchant du trièdre A, l'espace occupé par le tétraèdre ; il y a quatre troncs de ce genre, un relatif àrchaque face ;

Le comble A, A^^ja^a'^a,^ qui a pour faite l'arête AiA^ et pour .arêtes les prolongements A, aj, A,a^, des arêtes qui aboutissent en A, et les prolongements A.^a'3, k^a\, des arêtes qui aboutissent en A^; il y a six combles de ce genre, un relatif à chaque arête.

Cela posé, si le point M est situé dans l'intérieur du tétraèdre, les

quantités X,, j:^, ^3, j",, sont positives; les expressions 5<', J",, 0 -S ■^2'

- .Vj x.^, - s^ x^, représentent les volumes des pyramides triangulaires

qui ont M pour sommet et, pour bases, les faces s^, i\, s^, s^; et, comme la somme des volumes de ces pyramides est égale au volume du tétraèdre, la relation (i) est démontrée pour ce cas.

Si le point M est dans le trièdre A.a, a^a^, les hauteurs des pyramides qui ont pour bases .^p .^j. .^3, .^4, et pour sommet le point M, sont respectivement égales à x^, — x^,^x.^, — .r^, et, comme le tétraèdre équivaut à la pyramide ayant pour base .s\, diminuée de la somme des pyramides ayant pour bases Sî^v^^) on a

c'est-à-dire encore la relation (i).

On voit de même que, suivant que le point M est situé dans le tronc A^AjAj a^n^n^ ou dans le comble (A,AJ, on a

— ^, ( — X, ) 4- .y,.r, ^- .V3.r3-^ .î^.r, = 3.ou

.V, X, -H .v.^.r^ - .s-3 ( — .r, ) — .^, ( — xj = 3 <',

c'est-à-dire toujours la relation (i), qui se trouve ainsi établie pour tous les cas,

RÉciPROOiiEMENT, SI quatre r/na//t/fés x^^x^,x^,x^, satisfont à la relation ( I ), // existe un point de l'espace et un seul dont ces quantités sont les coordonnées tétraédriques.

En effet, menons un plan Q^. parallèle au plan de la face .v^, à une distance de celui-ci égale à la valeur absolue de .r^, et du même côté du plan .v^ que le sommet A^ ou du côté opposé, suivant que x^ est positif ou négatif; nous obtiendrons ainsi quatre plans Q,, Q^, 03)04, bion déterminés. TroiS' quelconques d'entre eux, Ç^^,<^j^,Qi^, se coupent oi) wn