LIVRE Vil. — LES CORPS RONDS

point unique y. rlont nous désignerons les coordonnées tétraédriques par Ç,, Ç^, ti, ?4. D'après la construction du point M, on a

d'ailleurs, le point y. est le seul point de l'espace dont les trois coordonnées d'indices ■2, 3, 4 soient respectivement égales à jc^,x^,x^. Il reste donc seulement à prouver que H, est égal a x^. Or on a, par le théorèmf^ direct,

c'est-à-dire, à cause des relations précédentes,

et la comparaison de cette relation avec la relation (i), qui, par hypothèse, est ici satisfaite, donne Ç, = j:,.

963. Abordons maintenant le problème de la sphère tangente a quatre plans que nous supposerons former un tétraèdre.

Pour qu'il existe une sphère inscrite dans le tétraèdre, il faut et il suf.it qu'on puisse satisfaire à la relation (i) en prenant

X, = fi, x^= û, .rj=rp, .r, = p,

p désignant le nombre fini et positif cfui mesure le rayon de la sphère. Or, une telle solution est toujours possible el est unique, caria substit'.ition des valeurs précédentes dans (i) donne

( .v, -I- .v.^ -+- .Vj -f- .Vj ) p = 3 (',

d'où l'on tire pour p la valeur unique, finie et positive,

.V, -+- .V, -r- .Vj -f- .y,

Il y a donc une sphère inscrite au tétraèdre et une seule; son rayon est donné par la formule précédente ; d'ailleurs, son centre, étant équidistant des quatre faces, appartient à tous les plans bissecteurs des dièdres intérieurs du tétraèdre, et trois de ces plans, relatifs aux trois arêtes d'une même face, sufïisent pour le déterminer.

Pour qu'une sphère taiigenlc eût son centre dans le trièdre S^y.^y./y.^^ il faudrait qu'on pût satisfaire à la relation (1) par les valeurs

péliint fini et positif; or, la substitution de ces valeurs donno

{•S— S- -s-'^Jp^ ■^'' ''"•' P

276 GÉOMÉTRIK DANS l'eSPACE.

ce qui est impossible, puisque, une face quelconque d'un tétraèdre étant moindre que la somme des trois autres, le second membre est négatif. Ainsi, il n'y a aucune sphère tangente ayant son centre dans le trièdre considéré ni dans les trois autres Irièdres analogues.

Il y a, au contraire, une sphère dans le tronc k.^k.^k^n,a^a^, car la substitution des valeurs

donne

( — .V, -I- .V, -f- .V, -i- .V, )p — 6v, d ou p = ,

valeur unique, finie et positive, puisque dans un tétraèdre une face quelconque est moindre que la somme des trois autres. Cette sphère est dite exmscrite suivant la face s^ ; son centre est à l'intersection des plans bissecteurs des dièdres extérieurs relatifs aux arêtes de cette face. Il y a de même une sphère exinscrile dans chaque tronc.

Voilà donc cinq sphères, la sphère inscrite et les (jiuitre sphères exinscrites, dont l'existence est certaine. II reste à examiner ce qui se passe pour les combles.

Pour raisonner d'une manière générale, désignons par A,Aj l'arête relative au comble considéré et par A,'Aa-' l'arête opposée. Pour qu'il y ait une sphère tangente dans le comble (A,Aj),il faut et il suffit que la substitution des valeurs

dans la relation (i) donne pour p une valeur finie et positive. Or, cette substitution conduit à

Si -+- .Vj — S) — .y ) p — 3 r, d'où 0 ■

Donc, pour ipi'il Y ait une sphère tangente clans l'un des combles^ il faut et il suffit que la somme s^-+- s^ des deux faces qui nnt pour côté commun r arête du comble soit supérieure à la somme si ■+- s 1,1 des deux autres faces.

II suit de là immédiatement que, s'il y a une sphère dans un comble, il n'y en a pas dans le comble opposé, et que, si la somme de deux faces est égale à In somme des deux autres, il n'y a de sphère tangente ni d(ms le comble cpd a pour arête le côté commun aux deux premières faces, ni dans le comble opposé qui a pour arête le côté commun aux deux autres faces.

Donc, enfin, le nombre des sphères tangentes à quatre plans formant un tétraèdre est au moins égal à cinq et au plus égal à huit.

LIVIli: VII. — LKS CORPS RONDS, '>'']

Admettons, ce qui est permis, qu'on ait et posons

L'égalité c/^ = o entraîne </- — o et </^ = o; car, si l'on a

c'est que les différences entre parenthèses, qui ne peuvent être négatives, sont nulles; on a donc

•»■> = -S = "i = -^ et, par suite,

73 = 0 et q, = o.

L'égalité f/^ — o entraîne </ , = o ; car, si ion a

0 = 73= (s— -Sl^ (^3— ^),

c'est quelesdifférenees entre parenthèses sont nulles; onadoncci = «-î, fj = s^ et, par suite, «74 = o.

Ces remarques très simples permettent d'achever la discussion.

Si les trois quantités qi, q^, qt, sont nulles, on a .^i = .5-2 = x^ = .ç^, et réciproquement. Donc, pour que le nombre den sphèrex soit e'^al à 5, it faut et il suffit que le te'traèdre ait toutes ses faces équivalentes.

Si deux seulement des quantités q^, 9», qi, eonl nulles, c'est qu'on a

c'est-à-dire

5, = Vj. Si^.Si., .î, a.^.lj,

et récrproquement. Donc, pour que le nombre des sphères soit égala 6, il faut et il suff-^t que les /aces du téùrièdre i;oie.it équivalentes deux à deux ians être toutes équivalentes.

Si uae seule îles quantités 92, qz, q^ est null-i, c'est qu'on a

9* --- o, qi > <t, q, "j:- >, c'oKî-à-dire

il -t- *4 = ^2 ■+■ ^3, Si > St ^ Si > ^4,

et réciproquement. Donc, pour que le nombre des sphèrer soit égal à 7, il faut et il suffit que le tétraèdre ait une face maximum et une face minimum, et que la somme de ces deux faces soit égale à la somme des deux autres, lesquelles peuvent d'ailleurs être équivalentes entre elles ou non. Enfin, si aucune des trois conditions précédentes n'est réalisée, le nombre des sphères est égal à 8.

278 GÉOMÉTRIE lUXS LESPACE.

Nous laissons au lecteur le soin d'examiner les cas où les quatre plans donnés ne forment pas un lélraèdre.