POLE ET POLAIRE PAR RAPPORT A UN CERCLE DE LA SPHÈRE

966. Un point 0 et un petit cercle AEFB étant donnés sur la sphère (Jfg. 5o6), si par le point O on mène un arc de grand cercle sécant OFE etquon détermine le conjugué hannoniquei du point O par rapporta EF, le lieu géométrique du point I lorsque l'arc UFE tourne autour du point 0 est un arc de grand cercle perpendiculaire au grand cercle OC déterminé par le point 0 et par le pôle Q, du cercle donné.

En effet, soit 0' le point oii le rayon wO rencontre le plan du cercle donné : les trois points E. F, 0' seront en ligne droite, et le faisceau des quatre rayons wE, wl, wF, wO'sera par hypothèse harmonique; donc, si l'est le point de rencontre deEF etdewï, le système rectiligne E, r, F, 0' sera aussi harmonique. Mais le lieu du point l' est une droite KH située dans le plan AEB et perpendiculaire au diamètre O'BA *,

donc le lieu du point I est l'intersection de la sphère par le plan wKII; c'est donc un grand cercle perpendiculaire au grand cerclé OC.

On dit que le point 0 est le pôle du grand cercle toKIi, et que ce grand cercle est \a polaire du point 0 par rapport au cercle AFB.

Le mot pôle a déjà reçu une autre acception, mais il ne pourra jamais y avoir d'ambiguïté si l'on fait la convention suivante : quand nous emploierons le mot pâle dans le nouveau sens que lui attribue le théorème précédent, il sera toujours suivi des mois par rapport au cercle considéré^ tandis que, lorsqu'il sera pris dans le sens primitif (944), cq mot ne sera suivi d'aucune indication.

28o OftOMfiTniR DANS l'eSPACE.

Nous avons étudié avec détail au n" 341 les positions relatives du point 0' et de la droite Kll: le lecteur en déduira aisément les positions relatives du point 0 et du grand cercle wKH.

Quand le point 0' décrit une droite dans le plan AEB, on sait (342) que la droite KH tourne dans ce plan autour du pôle de cette droite ; mais alors le point 0 décrit un grand cercle, et le plan wKH tourne autour du diiimètre qui perce la sphère au pôle, par rapport à AEB, du grand cercle décrit par 0. Donc, les polaires de toiis les points d'un grand cercle passent par le pôle de ce grand cercle par rapport au cercle directeur AEB : et les pôles par rapport au cercle directeur AEB, de tous les grands cercles qui passent par un point de la sphère, sont situés sur le grand cercle polaire de ce point .

Le théorème du n° 344, sa démonstration et ses conséquences (345, 346) subsistent pour la sphère en remplaçant les droites par des arcs de grand cercle; il en résulte le moyen de construire sur la sphère la polaire d'un point par rapport à un cercle directeur donné,

Enfm, la méthode de transformation par les polaires réciproques (348 et suiv.) s'étend aussi aux figures sphériques. Le mode de transformation général par polaires réciproques dans l'espace contient comme cas particulier le mode de transformation spécial que nous avons exposé au n° 808 pour les figures sphériques, et dans lequel on fait correspondre à un triangle un triangle supplémentaire. Soient , en effet , une sphère de rayon R et un point A de l'espace situé à une distance d du centre w de la sphère ; le plan polaire de ce point est un plan perpendiculaire à w A

et situé à une distance de w égale à — • Si le rayon R de la sphère tend

vers zéro, — tend aussi vers zéro, et les plans polaires de tous les points

de la droite indéfinie wA ont pour limite le plan unique mené par w perpendiculairement à wA. On peut, d'après cela, donner à ce plan le nom de plan polaire delà àrohe wA par rapport à une sphère infiniment petite ayant w pour centre. Cela posé, si l'on a une figure formée de droites et de plans passant tous par un point w, on aura la figure corrélative en menant par w des plans et des droites perpendiculaires aux droites et aux plans de la figure primitive. Sur la sphère, à un grand cercle répondra son pôle, et inversement, de sorte que l'on retombe sur les figures supplémentaires des n°' 811 et 812.