LIVRE VII. — LES CORPS RONDS

perpendiculaire à l'arc de grand cercle PQ qui joint les pôles des deux petits cercles donnés (yî"^. 507).

Si l'on coupe les deux cercles fixes P et Q par un cercle auxiliaire

Fig. 507.

variable (jid coupe le premier en A et B, et le second en A' et B', le lieu des points de rencontre M des arcs de grand cercle AB et A' B' est Vaxe nulical des cercles P et Q. Car les droites AB, A'B', se coupant évidemment en un point M' de XY, le point M où le rayon wM' perce la sphère appartient à la fois aux trois grands cercles dont les pians passent respectivement par les droites 'AB, A'B', XY. Cette propriété permet de construire sur la sphère l'axe radical de deux cercles.

Fig. 5o8.

Si le cercle sécant ABA'B' devient un c('rcle CD tangent en C et D ^fig. 5o8), les arcs de grand cercle BAM, B'A'M deviennent des arcs dft grand cercle tangents iMC et MD; ils sont d'ailleurs égaux comme tan-

282 GfeOMf'TRIE DANS L'iiSPACE.

gentes sphériques menées d'un même point M au cercle au\i|i;iire CD (832, 820). Donc l'axe radical UV des deux cercles P <?? Q est le lieu des deux points de la sphère d'où l'on peut leur mener des tangentes spliériques égales.

Le cercle CID, décrit du point M comme pôle, coupe orthogonalement ',es deux cercles P et Q ; car il est à angle droit sur les arcs de grand cercle MC et MO. Donc l'axe radical des deux cercles V et Q est sur la sphère le lieu des pôles ou centres sphèriqiies des cercles fjui coupent orthngonalcment les deux cercles ^ et Q.

Enfin, le plan du cercle CID est le plan polaire du point M' qui appartient à XY; car son plan est perpendiculaire à wM', et il contient le point G qui appartient évidemment au plan polaire. D'ailleurs, comme lorsque le cercle orthogonal CID varie, son pôle M' décrit la droite XY, le plnn de ce cercle CID passe constamment par la droite réciproque (946) de XY. Donc, lorsque deux systèmes de cercles se coupent nrtJiogonalenient sur la sphère, les plans des cercles de chaque système passent par une droite, et ces deux droites sont réciproques par rapport à la sphère. Inversement, deux séries de plans passant par deux droites réciproques par rapport à une sphère tracent sur cette sphère deux systèmes de ccirles orthogonaux (' ). Ajoutons que la droite réciproque de l'intersection des deux cercles P et Q est précisément la droite qui joint les sommets des deux cônes (878, 880 ) que l'on peut faire passer par ces deux cercles. En effet, prenons pour plan de la figure le grand cercle [fig. 219, p. 344) perpendiculaire aux deux cercles donnés, qui sont alors représentés par les deux droites AA' et BB' ; en joignant AB et A'B', puis . AB' et BA', on aura les sommets N et 0 des deux cônes considérés, et, comme la droite NO est (346) la polaire de l'intersection M des deux droites AA' et BB', la perpendiculaire au plan de la figure élevée par le point M, c'est-à-dire la droite commune auxplans des deux cercles AA' et BB', aura pour réciproque NO (946).

Les axes radicaux de trois cercles d'une sphère considérés deux à deux concourent en un même point; car le rayon qui aboutit au sommet du trièdre formé par les plans des trois cercles perce la sphère en un point commun aux trois axes radicaux. Ce point prend le nom de centre radical des trois cercles. C'est le centre sphérique du cercle qui coupe ot thogonalement les trois cercles donnés.

(') L'élude du double système des cercles ortlior;onaux sur la splière a des conséquences importantes relativement aux surfaces dont les li{fnes de courbure sont planes (O. I>o:<NnT, Journal de l'Ecole Polytechnique, XXXV" cahier ' — l'icART, Essai d'une Théorie géométrique des surfaces, iSG3).

tITRK YII, — LES COUPS K()M)S. 283

CENTRES DE «UIILITt HE HE DEUX CERCLES.

008 On nomino centres de similitude de deux cercles AB et CD situés sur une sphère (^5. 509) les points 0 et 0' où la sphère est rencontrée par

Fig. 509.

les rayons w S et wS'qui vont aux sommets S et S' des deux cônes (878) que l'on peut faire passer par les deux cercles. Ces deux centres sont d'ailleurs sur le grand cercle qui p;isse par les pôles P et Q des deux cercles donnés.

On dit que deux points M et N, appartenant, l'un au cercle P, l'autre au cercle Q, sont anti-homolngucs lorsque la droite qui les joint est une géniTatrice de l'un des deux cônes S et S', h' arc de j^rand cercle MN passe alors par le centre de similitude 0 relatif au cône considéré S, car son plan contient les points w et S, et, par suite, le point 0 de la droite ojS (A-.5I0).

Deux couples M et N, B et D, de points anti-homologues par rapport h un même cône S appartiennent h un même cercle de la sphère, car ils sont situés dans le plan des génératrices MN et BD du cône. On en conclut (907) que Varc de grand cercle qui joint deux points fjuclcoinjues du cercle P et Varc de grand cercle (jui joint les points antidiomologues du cercle Q se coupent sur l'axe radical des cercles P et Q.

Si les deux points considérés sur le cercle P se confondent, les deux propositions quî précédent deviennent les suivantes : Quand deux cercles P et Q d'une même sphère sont touchés par un troisième X, les points de contact M et N sont anti-homologues et le plan de ce cercle X passe par le sommet S rlu cône correspondant. Les tangentes sphérifpies en deux points a/Ui-homologues M et N de deux cercles P et Q se coupent sur Vttxe nuit cal de ces deux cercles.

Le plan d'un cercle tangent à trois cercles de la sphère est tangent à trois cônes qui passent par ces cercles pris deux à deux, et réciproquement. Or, trois cercles pris deux à deux forment trois combinaisons, à chacune desquelles répondent deux cônes. Du sommet de l'un des cônes de la pre-

GÉOMÉTRIE DANS I.'eSPACE.

mière combinaison on peut mener, en général, deux plans tangents à l'un des cônes de la secondL',et ces plans seront tangents non-seulement aux deux cônes, mais encore à un des cônes de la troisième combinaison. Donc l'intersection de ces deux plans passe par les sommets des trois cônes. Nous avons considéré dans ce raisonnement un cône de la première combinaison et un cône de la seconde, ce qui a déterminé le cône

Fig. 5io.

de la troisième. Mais on peut associer de quatre manières différentes un cône de la première combinaison et un cône de la seconde. Par suite, les sommets des six cônes sont situés trois à trois sur quatre droites, chaque sommet appartenant à deux droites différentes; donc ces quatre droites se coupent deux à deux et sont toutes situées dans un même plan. Il résulte de là que les six centres de sinnlitude de trois cercles d^uic même sphère sont situés trois à trois sur quatre grands cercles,

CliKCLKS ISOGONAUX,

969. Pour que, sur une sphère, un cercle L, qui rencontre un rercle P en un point M et un cercle Q en un point N, coupe ces deux cercles sous des angles égaux ( ou supplémentaires ) , il faut et il suffit que les points M et N soient ttnti-homologiws.

Remarquons d'abord que, si par deux points appartenant respectivement à deux lignes sphériques on peut mener un cercle qui coupe ces lignes sous des angles égaux, toutîautre cercle passant par lesdeux points coupera aussi ces lignes sous des angles égaux, car les nouveaux angles différeront respectivement des premiers d'un angle égal à relui des deux cercles. Il suit de là qu'il suffit de démontrer le théorème proposé dans l'hypothèse où le cercle L est un grand cercle. Soit donc (Jîg. 5io) MN un grand cercle coupant P et Q sous des angles égaux, et soit X le point d'intersection des rayons sphériques PM, QN. Les angles XMN,XNM étant égaux, le triangle sphérique XMN est isocèle, et, par suite, le cercle décrit de X comme centre sphérique et passant par M passe aussi par N; ce cercle touche d'ailleurs en M et N les cercles P et Q (823); donc les

LIVRF VU. — TFS CORPS RONDS.

pointsM et N sont anti-homologues (9IJ8). Inversement, soient MN l'arc de grand cercle qui joint deux points anli-homologues des cercles? et Q et X le pôle du petit cercle qui touche (968) P et Q en M et N; les grands cercles PX et QX passent respectivement par les points de contact M et N (823) et, dans le triangle sphérique isocèle XMN, il y a égalité entre les angles à la base M etN, et, par suite, entre les angles que MN fait avec P et 0-

On peut encore énoncer ce théorème en disant (968) : Pour que, sur une sphère, un cercle L coupe deux cercles V et Q sous des angles égciux ( ou supplémentaires ) , // faut et il suffit que son plan contienne le sommet de l'un des cônes qui passent par P et Q.

Si A, B, C sont trois cercles d'une sphère avant deux à deux même axe radical (c'est-à-dire dont les plans passent par une même droite K), et si un autre cercle L se déplace sur la sphère en faisant avec A un angle constant x et avec M un angle constant S, ce cercle mobile fera avec C un angle constant 7. En effet, soient L et L, deux positions du cercle mobile. A foupant L et L, sons le même angle a, son plan passe par le sommet S de l'un des cônes déterminés par L et L, ; pour la même raison, le plan du cercle B passe par S ; donc le point S appartient à la droite K et, par suite, au plan du cercle C qui, dès lors, coupe L et L, sous le même angle.

Il suit de là que, si un cercle L se déplace sur une sphère en coupant respectivement deux cercles A ef B sous des angles constants y. et p, ce cercle mobile reste tangent à deuc cercles fixes. En effet, L, étant une position particulière du cercle mobile, menons par la droite K, commune aux plans A et B, un plan qui coupe ia sphère suivant un cercle C tangent à L, ; le cercle mobile devra, dans toutes ses positions, faire un angle invariable avec C d'après le théorème précédent; et comme, dans la position particulière L,, il touche C, c'est-à-dire fait avec C un angle nul (ou égal à deux droits), il devra toucher C dans toutes ses positions. D'ailleurs, par la droite K, on peut mener deux plans coupant la sphère suivant un cercle tangent à L, ; donc le cercle mobile louche constamment deux cercles fixes C et C. Observons enfin que, les cercles A, B, C, C, ayant leurs plans passant par une môme droite K, leurs pôles sont sur le grand cercle dont le plan est perpendiculaire à cette droite.