LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

et M'; menons la sécante M M' S, abaissons des deux points considérés les perpendiculaircsMo, M'o', surla direciriceDD', et traçons leurs rayons vecteurs. Portons sur FM une longueur FC= FM', et sur 9 M une longueur "o-E^:: 9' M'. D'après la définition de la parabole, MC est égal à ME.

Fig. 540.

Fig. 5'ji.

D'un point G quelconque de la sécante MM'S, menons à M'C cl à M'E, jusqu'à la rencontre de FM et de 9M, les parallèles GI et GH. Les deux quadrilatères G M'E M, IGHM sont semblables 208 , et l'égalité de MC et de ME entroîne celle de MI et de Mil.

A mesure que le point M' se rapproche du point M, GH reste, comme ME, perpendiculaire à M9, tandis que GI, perpendiculaire à la bissectrice de l'angle au sommet du triangle isocèle M'FC, tend à le devenir au rayon vecteur FM. On a de plus constamment MI = MH. La tangente à la parabole (y?^»-. 540 doit donc être telle, que si, d'un point quelconque G pris sur cette droite, on abaisse des perpendiculaires GI et GH sur le rayon vecteur du point de contact M et sur la perpendiculaire aljaissée de ce point sur la directrice, on aitMI = MH. Les triangles rectangles MGI, MGH sont donc égaux, ainsi que les angles GMI, GMII. Art tangente à la parabole est donc bissectrice de l'angle formé par le rayon vecteur du point de contact et la perpendiculaire abaissée de ce point sur la directrice.

Mais, l'angle GMH étant l'opposé par le sommet de l'angle

326 GÉOMÉTRIE. lUNS l'eSPACE.

T.MO, les deux angles GMI ou TMF ei T, MO sont égaux ; ce qui conduit à l'énoncé adopté.

103i. RÉciPnoQUEMEM, la convie dont la ta/ii^eiite est bissectrice de Vangte formé parles droites menées d'un point de la courbe à un point fixe, et perpendiculairement à une droite fixe, est une parabole ayant le point et la droite fixes pour foyer et pour directrice.

Démonstration analogue à celle donnée pour l'ellipse et l'hyperbole ilOOT).

COROl-LAmES.

1035. Soit S le point où la sécante M M' S (fig. 5jo] coupe la directrice DD'. On a, à cause des parallèles,

M S Mo MF ârS~'M'9'~ MF'

la droite SF est donc la bissectrice de l'angle extérieur en F du triangle MFM' (183 . La droite qui joint le foyer d'une parabole an point de rencontre d'une sécante quelconque avec la directrice est donc bissectrice de l'angle extérieur des rayo?is vecteurs des points d'intersection de la sécante avec la courbe.

A la limite, quand la sécante devient tangente, c'est-à-dire quand l'angle MFM' devient nul, la droite SF est remplacée [fig. 540 parla droite RF bissectrice de Tangle supplémentaire de cet angle nul. Par suite, la droite qui joint le foyer d'une parabole au point où une tangente quelconque rencontre la directrice est perpendiculaire sur le rayon vecteur du point de contact.

103G. Tous les points de la tangente MT, scuif le point de contact M, sont extérieurs à la parabole qui, par suite (982), est une courbe convexe [fig. 5^i).

En effet, le triangle FM 9 étant isocèle et la tangente étant la bissectrice de son angle au sommet (1033), elle est perpendiculaire sur le milieu K de Fo. Pour un point T, quelconque de latangente,ouadonc,T, H étant la perpendiculaire abaissée