I.F.S COURBES LSUKl.LES

Pour que les points d'inlerseciion M et M' existent, il sufiit que le point P soit a l'intérieur du cercle dé< rit du foyer F comme centre avec PL pour rayon, c'est-à-dire qu'on ait' FP<<PL. Cette condition sera toujours remplie lorsque le point P sera à droite du foyer F (dans le cas delà ri:ïure); mais elle exige, si le point P est à gauche de F, qu'il reste à

droite du point A milieu de FL. Si l'on a dans ce cas, comme condition limite, FP=PL, le point P se confond avec le point A, et les deux points y et ÎM' se réunissent en ce point.

Le rayon vecteur minimum est donc AF ou -•, il n'y a pas de

rayon vecteur maximum, rien ne limitant l'eloignemenl du point Pà droite du foyer F.

THÉORÈME

1030. La parabole a pour axe la perpendiculaire menée du fojer sur la directrice {/ig. Ô37).

Même démonstration que pour l'ellipse (975, i" . Le point A, commun à la parabole et à son axe, est le sommet de la courbe.

THÉORÈME

1031. Suivant qu'un point est intérieur ou extérieur à la parabole, sa distancf^ au foyer est moindre ou plus grand»' tjue sa distance à la directrice {/ig. 53ç)).

Soit d'abord un point N intérieur à la courbe. Menons la droite NF et la perpendiculaire Nil à la directrice, laquelle

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

coupera la parabole au point M (1027). Le triangle NFM donne alors

NF<NM+ MF ou NF<NH, puisque MF = Mil.

Soit de même un point îs' extérieur à la courbe. Si le point N' el le foyer sont de côtés difTérenls par rapport à la directrice, la proposition est évidente. Sinon, menons la

Fi[f. 539.

droite N'F et la perpendiculaire NU à la directrice, laquelle, prolongée, coupera la parabole au point M. Le triangle N'F M donne alors

N'F>MF - MN' ou N'F>N'H, puisque MF = MH.

COROLlAinE.

1032. Ce théorème, rapproché de la définition de la courbe, fournit un critérium pour juger de la position d'un point quelconque de son plan par rapport à la parabole supposée non tracée. Suivant que la distance du point considéré au foyer est égale, supérieure ou inférieure à sa distance à la directrice, ce point est à la courbe, il lui est extérieur ou intérieur.

THÉORÈME

1033. La tangente à la parabole fait extérieurement des ongles égaux avec le rayon vecteur du point de contact et avec la parallèle menée à l'axe par le même point.

Prenons sur la parabole {/ig. 54o) deux points voisins M