LIVRE YIII. — LES COURBES USUELLES. SSg

engendrée par la rotation de AB autour de SO sera coupée suivant la parabole donnée par un plan mené perpendiculairement à celui du triangle OBA et passant par la droite AP, tracée de manière que AO soit la bissectrice de l'angle SAP. On peut donc toujours placer une parabnle donnée sur un cône donne'.

SCOLIE

1089. Le sommet d'un cône de révolution s'éloignant à l'infini dans la direction de l'axe, ce cône dégénère en cylindre de révolution. Un cylindre circulaire droit est donc coupé suivant une ellipse par un plan sécant quelconque (1086, i°).

C'est ce qu'on démontrera, du reste, directement en adoptant la même marche que précédemment. Cette marche permettra de déterminer le grand axe, le foyer et les directrices de la section proposée. On en déduira lacilement que toutes les ellipses trouvées en coupant par un plan quelconque un cjUndre de révolution ont pour petit axe le diamètre de ce cylindre.

On peut toujours placer une ellipse donnée sur un' cylindre de révolution donne' {108S, i°), lorsque le petit axe de l'ellipse est égal au diamètre du cylindre.

THÉORÈME

1090. Si l'on coupe une surface gauche de re'volution par un plan, la projection de l'intersection sur un plan perpendiculaire à l'axe de la turjace est une section conique (fig. 667 ).

On appelle surface gauche de révolution la surface engendrée par une droite non située dans un môme plan avec l'axe autour duquel elle tourne.

36o GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACB,

Le plus petit parallèle de la surface, engendre par la plus courte distance de la génératrice à l'axe (S38), porte le nom de cercle de gorge de la surface. La projection de la génératrice sur le plan du cercle de gorge est tangente à ce cercle, car, cette génératrice étant perpendiculaire à l'extrémité du rayon du cercle de gorge, il en est de même de sa protection (531).

Cela posé, représentons la surface par son axe OX, son cercle de gorge OG et l'une de ses génératrices GG'. Coupons-la par un plan HLB. Si ce plan rencontre en M la génératrice GG', M sera un point de la courbe d'intersection. Sa projection sur le plan du cercle de gorge sera en P, sur la tangente GP à ce cercle. La génératrice faisant un angle constant avec le plan du cercle de gorge, le rapport de PG à MP reste constant.

Menons par le point M la ligne de plus grande pente MH (555, 556) du plan HLR par rapport au plan du cercle de gorge, et traçons la droite PH. La droite MH faisant de même un angle constant avec le plan du cercle de gorge, le rapport de PH à MP reste constant; le rapport de PG à PH est donc aussi constant, et le théorème est démontré (1087).

Corollaires.

1091. Si le rayon du cercle de gorge devient nul, la surface gauche de révolution dégénère en un cône. Donc, la projection d'une section conique sur un plan perpendiculaire à l'axe du cône de révolution sur lequel elle est placée est une section conique, dont l'un des fojers est la projection du sommet de cône sur le plan de projection et dont la directrice correspondante est la projection sur le même plan de l'intersection du plan sécant avec le plan mené par le sommet du cône parallèlement au plan de projection .