LIVRE VIII. — LES COURBES LSUELLES
La première, conipléc dans un sens convenu sur la circonférence AA', reçoit le nom d'abscisse cunùligne et l'on appelle
Fig. 568.
ordonnée la seconde, comptée dans un sens convenu parallèlement aux ffénératrices.
1093. Parmi les lignes situées sur la surface du cylindre, on nomme hélice celle dont l'ordonnée est proportionnelle à ['abscisse curviligne, c'est-à-dire celle qui a pour équation
z =r ks.
où k désigne un nombre positif donné.
On en déduit immédiatement la relation
Az =■ kL:.y
entre les accroissements correspondants A5, A:; de l'abscisse curviligne s et de l'ordonnée z. En particulier, si l'accroissement de l'abscisse est égal à la longueur 27: R de la circonférence de base, l'accroissement de l'ordonnée sera k.iizW, et comme cette expression est indépendante de la valeur de r. on voit que le segment compris entre deux points de rencontre successifs M et M, de l'hélice avec une même génératrice PMM, est constant (non seu ment sur une uiême gêné
362 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
ralrice, mais encore en passant d'une génératrice à l'autre). On donne à cet intervalle le nom de pas et on le désigne habituellement par H. On a donc
(3) H = A:.27tR d'où ^=—5-,
et, par suite, l'équation de l'hélice devient
27îK*'
(4) ^ = r:;;:TY*»
que l'on peut écrire encore
( 5 ) zzzi — (ù,
w désignant l'angle au centre AOP de l'arc *.
L'arc d'hélice MAiMi compris entre deux points de rencontre M et Ml de l'hélice et d'une même génératrice prend le nom de spire.
1094. Par deux points A et B situés sur une surface cylindrique, il passe un arc d'hélice moindre qu'une spire, mais un seul.
En effet, si l'on prend A pour origine, toute hélice passant par A aura une équation de la forme (5); pour qu'elle passe par B, il faut et il suffit qu'on ait
Zi et w, étant les coordonnées du point B. On tire de là, pour le pas H, la valeur unique
LITRE Tin. — LES COURBRS USUELLES.
THÉORÈME
1095. Dans te développement du cylindre, l'hélice a pour transformée une ligne droite {fig. Sôq).
En effet, considérons une spire AMM'B,, et soit AaBB, le rectangle qui est le développement de la partie correspondante du cylindre; Aa est égale à la circonférence de base et HBj est égale au pas. Pour avoir les points Mi et M'i de
développement qui correspondent à deux points quelconques M et M' de l'hélice, on prendra AP, et AP', égaux respectivement aux arcs AP et AP' et l'on mènera par Pj et P'j perpendiculairement à Aa des droites PiMi, P'iM'i égales aux ordonnées PM et PMi.
Cela posé, l'équation de l'hélice donne
PM
Mais on a
arcAP arcAP'
PMr^rPiMi, P'M' = P',M;, arcAP=:APi, arcAP'=AP',.
La proportion précédente devient donc
AP, " AP'i '
ce f|ni prouve que les trois points A, Mi, M', sont en ligne droite.
THÉORÈME
1096. La tangente M 9 en un point quelconque M d'une hélice fait avec les génératrices du cylindre un angle constant a, dont la cotangente est égale à k {fig. ^jo).
En effet, soit M' un point voisin de M sur l'hélice considérée; menons les ordonnées MP, M'P' et soit T le point de rencontre des cordes prolongées M' M, P'P.
Fig. 670.
Si «1 désigne l'angle de TMM'avec les ordonnées, on aura
^arcAP =PM = TP colga,, ^ arcAP' — P'M = TP' cotga, ;
d'où, par soustraction,
A:arcPP'=: corde PP'cotga,,
arcPP'
c'esl-à-dire
cotga, = k
corde PP'
Mais, lorsque M' tend vers M en restant sur l'hélice, l'angle a, tend vers l'angle PMÔ que la tangente M 9 fait avec les génératrices du cylindre. Donc, comme le rapport de l'arc PP' à sa corde tend vers l'unité, l'équation précédente deviendra, à la limite.
cotga = k z=
H 27rR
