LIVRE VIII. — IBS COURBES CSHELT.ES

i" L'équation (2) peuL s'écrire

{am — \>-)[b' ni' — X) =; A,

k élant une constante; en remplaçant alors > et « par les valeurs cidessus, on trouve

(3) \in.Vin' = k,

formule très-usuelle ; car, dans les applications, on détermine en général très-aisément les points I et J', auxquels on donne le nom de points limites.

1" Soient a, b, c, trois points choisis à volonté dans la première division; a', h', c', leurs homologues dans la seconde, et m, m', un quatrième couple quelconque de points correspondants. La relation (3) donne

. ^ I '^ JI - 1 T "il

1(7=77-7, lc = —-,i d ou c(i = la — le = — ,•(■' " '

y a' Je' i a .i c

En formant les valeurs analogues de cb, /na, mb^ et les portant dans l'expression du rapport anharmonique

, , ra mn

( abcm I ou — T : — r > cb iiiIj

on trou\e

(4) (nbr/n) = {a'b'c m').

Donc, pour que deux divisions soient homos^raphiques, il faut et il suffît que tout système de quatre points de la première- ait le même rapport aniiormonique que les quatre points homologues de la seconde. C'est cette propriété que M. Chasies prend pour défmition dans sa Géométrie supérieure.

1102. Examinons maintenant le cas où A est nul. La relation homographique (i) se réduit alors à

B.rt/// -(- et' w' -I- D = o,

ou, cjmmo B et C ne sauraient être nuls à la fois, à

am = k[b ni — /<),

// et / étant deux constantes. Lorsque m est en a, le premier membre s'annule, et, comme m' coïncide alors avec l'homologue a' de a, on voit que h = b' a' et, par suite, que l'équation précédente peut s'écrire

am — h [b' m' — b' a') ou nm = k.a' m'.

Donc les deux droites L et L' sont divisées en parties proportionnelles. R. et DE C. — 7>. de Géom. (Il' Partie). J.'l

370 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

On dit, dans ce cas, que les deux divisions homograpliiques sont iem" blahlcs.

Dans deux divisions semblables, les points à Vinfini sont homologues ; car, d'après l'équation précédente, am et «'/// deviennent infinis en même temps. Réciproquement, deux divisions homograpJiiques dont les points à Vinfîni se correspondent sont semblables ; car, si dans l'équation (1), préalablement divisée par am. b' m' , on fait à la fois am ei b' m' infinis, on voit que A = o.

Lorsque le coefficient k qui figure dans la relation précédente est égal à + I, les deux divisions sont dites égales; elles sont égales et de même sens pour /■ = i, égales et de sens contraires pour Â- = — i .

Pour deux divisions semblables, la relation (3) n'a plus de sens; mais il est évident que la relation (4) subsiste encore.

il03. Deux divisions r/^tv///?. . . , a^b^c^m^n^. . . . sont dites tiomohgiques, lorsqu'elles sont la perspective l'une de l'autre, c'est-à-dire lorsque les droites bb^, ce,, . . . , /«/w,,. . . , qui joignent les points homologues concourent en un même point S (y/g-. 572).

Deux difisions homologiques sont homographiques, puisque le rapport anharmonique est une expression projective; le point d'intersection [a, «,) des deux bases L et L, est alors un point homologue commun. Réciproquement, deux divisions liomographiques qui ont un point homologue commun sont homologiques ; c'est le théorème fondamental du n° 324 avec un autre énoncé.

On déduit de là un moyen très simple pour construire deux divisions homographiques dont on donne trois couples de points homologues. Soient (a, a'), {b, b'), (c, c'), les trois couples donnés, et m' un point quelconque de la deuxième division; il s'agit de trouver le point m de la première division qui est l'homologue de m'. A cet effet, on portera