I. - HOMOGRAPHIE ET INVOLUTION

DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES.

HOO. On donne le nom de division à une suite quelconque de points situés en ligne droite. Sur cette droite, qu'on appelle base de la division, on choisit à volonté une origine fixe a, et l'on indique sans ambiguïté la position d'un point quelconque m en donnant le segment ain en grandeur et en signe.

Dans un grand nombre de questions de Géométrie, on est conduit à considérer deux divisions dont les points se correspondent un à un suivant une loi déterminée; on appelle alors homologues deux points correspondants quelconques, et on les désigne par une même lettre, non accentuée pour le point de la première division, et affectée d'un accent pour le point de la seconde. Soient L et L' les deux bases [Jîg. ^72), m et m' deux points homologues; n l'origine prise sur la base L et b' l'origine cjioisie sur la base L' ('); la loi suivant laquelle les points homologues des deux divisions se correspondent s'exprimera alors par une équation entre les segments am et b' m'.

On dit que deux divisions sont hoiuogmphiques lorsque l'équation qui exprime la loi de correspondance des points homologues m et m' est du

(') Nous supposons, pour plus de (jénéralilé, que les origines u et b' no sont pas nécessaireuieiit deux points houiolognes.

368 GÉOMÉTRIE BANS l'p.SPACE.

premier degré par rapport à chacun des segments nm et Z»'/»', c'est-àdire est de la forme

( 1 ) A . am . b' m' -+- B . arn -i- C . 6' w' -{- D = o,

A, B, C, D, étant des constantes données.

Deux divisions homographiques cV une troisième sont homographiques entre elles; car soit une autre division homographique de la première ; en désignant par c" l'origine et par m" l'homologue de ///, on aura

k^.am.c" m" -+- B^.a/n -+■ C, .c"ni" -h D, = o,

et, comme l'élimination de am entre les deux relations précédentes conduit évidemment à une équation de même forme entre b'm' et c"m\ les deux divisions engendrées par les points ///' et m" sont homographiques.

Souvent, au lieu de donner les quantités A, B, C, D, on donne des couples de points homologues. Or, l'équation (i) ne renferme en réalité que trois coefficients arbitraires, qui sont les rapports de trois quelconques des quantités A, B, C, D, à la quatrième; d'ailleurs, donner un couple de points homologues, c'est donner une valeur de nm et la valeur correspondante de 6'/;/, c'est-à-dire une équation du premier degré entre les trois rapports considérés. Pour déterminer ces rapports, il est donc nécessaire et suffisant d'avoir trois équations de ce genre, c'es!-à-dire de connaître trois couples de points correspondants. A\ns'\, deux divisions /mniograp/u'ques sont déterminées par trois roupies de points homologues.

1101. Écartons, pour le moment, le cas particulier où A est nul; nous pourrons alors diviser par A, et la relation homographique (i) prendra ia forme

( 'i. ) am . h m' — i . am — p. . b' m' -h v — o.

Les coefficients ). et (xont des significations géométriques remarquables. Nous désignerons toujours, dans la suite, par I le point de la première division qui est l'homologue du point situé à l'infini dans la seconde, et par J' le point de la seconde division qui répond à l'infini de la première. Si, dans la relation (2), on fait am infini après avoir divisé par am, on trouve

b' y — \ — o, d'où / — ^' J',

et l'on a de même, en faisant b' m' infini,

a\ — ij. =r o, d'où f/ = a\.

La relation homographique (2) peut être transformée de bien des manières. Voici les deux autres formes les plus utiles;