LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

base, il suffit d'exprimer dans la relation (1101)

am . am' — X . oui — a . oui' -i- v = o

que les points I et J' coïncident, c'est-à-dire, puisque (1101) X = a]' et (JL = a\, que \ — ^. L'équation d'involution est alors

(3 ) am.atn' — \[am -h am') 4- v = o.

On voit qu'elle ne renferme que deux coefficients arbitraires X et v, de sorte qu'// suffit de deux couples de points homologues pour déterminer une involution .

Soient («,«'), [b, b'),{c, c'), trois couples de points homologues de deux divisions en involution : quatre quelconques de ces six points ont leur rapport an/iarmonique égal à celui des quatre points homologues ; ainsi l'on a, par exemple, {abcb') = [a'b'c' b), car les deux systèmes abcb', a'b'c'b, sont homographiques. Réciproquement, pour que trois couples de points [a, a'), [b, b'),[c^ c'), en lignedroitej soient en involution, c'est-à-dire pour que les points c et c' soient deux points homologues des deux divisions homographiques en involution déterminées par les deux couples (<7, fl')et [b, b'), il suffit que quatre de ces points aient leur rapport anliarmonique égal à celui de leurs homologues ; car, si l'on a, par exemple, [abcb') = [a'b'c'b'), l^s deux divisions abcb', a'b' c'b, sont homographiques, et au point ^, considéré tour à tour comme appartenant à la première et à la seconde division, répond toujours le même point b' .

Il résulte de là que V involution est une propriété projective .

1144. On sait que deux divisions homographiques de môme base ont deux points doubles réels ou imaginaires, dont le milieu coïncide avec le milieu des points I et J' homologues de l'infini. Donc, toute involution a deux points doubles e et f, réels ou imaginaires, dont le milieu est le point central 0 ; cela résulte d'ailleurs de la relation (2) qui donne, pour les segments 06' et 0/ relatifs aux points doubles,

Qc^-^ \JOaA)a', 0/ ^ — \/0a.0a',

[a, a') étant un couple quelconque de points homologues.

Ces expressions montrent encore que le scgnu-nt ef, formé par les deux points doubles réels ou imaginaires, est divisé harmoniquement par cluKpic couple de points homologues [a, a'), [b, b'), ... (' ). Le point central, ayant même puissance par rapport à tous les couples (a, a'), (b, b'), ... de

(') Il résulte de Ki que, lorsque ruii des i]t)iiits doubles e est il l'iiidiii, l'autre point double / est le milieu de tous les segmenta aa', bb' , ce', ....

38o GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

points homologues, appartient à l'axe radical de deux cercles quelconques ayant respectivement pour cordes deux segments quelconques aa!^ hh\ .... Donc : i° si sur les divers segments aa', bb' , ce',. . . formés par chaque couple de points homologues, on décrit des circonférences passant toutes par un même point quelconque extérieur à la base, ces circonférences ont un second point commun et leur corde commune coupe la base au point central; 2° les circonférences décrites sur les divers segments aa\ bb', ce', . . . comme diamètres, ont pour axe radical commun la perpendiculaire à la base élevée par le point central.

Nous avons déjà trouvé la plupart de ces résultais au n° 381 où nous avons ébauché en quelque sorte la théorie de l'involution en prenant pour ^Doint de départ la relation (2) ci-dessus. Nous renverrons à ce numéro, pour ce qui concerne l'influence de la réalité ou do l'imaginarité des points doubles sur la disposition des points d'une division involutive.

1115. Les points doubles e et fde deux divisions homographiques quelconques, abc, . . .,db' c' ,. . .,de même base, forment une involution avec chaque système de deux couples tels que ab' et a' b; car on a

{abef) = {a'b'ef) = (b'a'fe) (318),

de sorte que les deux figures abef, b' a'fe, sont homographiques, et que le point e, considéré tour à tour comme appartenant à l'une et à l'autre, a toujours le même homologue /.

On conclut de là (1114) que : 1° les trois circonférences, menées par un même point g quelconque extérieur à la base et par les trois segments ab', ba', ef passent toutes trois par un second point commun; 2° les circonférences décrites sur ab', ba', ef, comme diamètres, ont même axe radical.