DIVISIONS ET FAISCEAUX HO.MOGRAPHIQUES EX INVOLITIOX

1112. On dit que deux divisions homographiques de même base L forment une involution, lorsqu'on peut trouver sur la droite L un point a qui, considéré successivement comme appartenant à l'une ou à l'autre division, a toujours pour homologue le même point a'.

L'homographie de deux divisions de même base s'exprime (H05)par ia relation générale

(i) Ow. Ow' H- OJ'. ?///// -i- V =0,

0 étant le milieu des points I et J' dont les homologues sont à l'infini. Pour que l'égalité

ne change pas quand on permute a et a', il faut et il suffit que 0J' = o. Donc, pour que deux divisions homographiques forment une involution, il faut et il suffit que les points I et J', homologues de linfini, coïncident. La relation ( i ) se réduit alors à

(2) 0/«.0/h' = const.,

et la symétrie de cette équation, par rapport àO/w et à Ow', montre que tous les couples de points homologues jouissent de la même propriété que le couple ( m, m'). Ainsi, dans deux divisions homographiques en involution, tout point considéré successivement comme appartenant a la première et à la seconde division a toujours le même homologue.

Le point 0, ou sont réunis les points I et J'et dont le conjugué est à l'infini, reçoit le nom de point central de V involution.

H 13. L'équation (-2), très-commode à cause de sa simplicité, est trop particulière. Lorsqu'on veut prendre pour origine commune des deux divisions, non plus le point central 0, mais un point quelconque a de Ja