LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

forment une involulion, il faut et il suffit (1113) que chacun d'eux satisfasse à la relation

km, h. m' — \{km-\- km') -f- v = o ;

de là, tes trois équations

</, — 1p^ )l -I- V = G, q^ — 2/>'jX -I- V =r G, q^ — 2/;^ X -I- v = o,

qui doivent ôlre satisfaites par les mêmes valeurs de \ et de v. La condition d'involulion résulte donc de l'élimination de X et de v entre ces trois équations ; on trouve

Cette équation (i) résulterait pareillement de l'élimination du paramètre arbitraire k entre les deux relations

i\+h}\ y, ^ kq^

qui peuvent dès lors remplacer la condition ( i ). En vertu de ces valeurs, l'équation x^ — "i-Pi^ ~^ 1^ — ^ P^^t s'écrire

telle est l'équation qui détermine le troisième couple (r, c') en fonction des éléments des deux premiers («, a') et (è, h').

il 17. Dans les applications, il est souvent plus commode de substituer aux éléments /j,, 7,, /?j, 7,, /?3, 7,, les segments A*?, ka\ kb, kb', Ac, kc' ; or, SI X, |3, 7, désignent respectivement les milieux des segments «/, bb', ce', on a

P, = k7., p,=-kp, p, = ky,

et, par suite, la condition d'involulion (i) s'écrit

(2) ka.ka'.&y -h Xb.kb'.yx-h kc.kc'.y.p —o.

Cette équation fondamentale en donne beaucoup d'autres. Par exemple, si l'on fait coïncider successivement l'origine arbitraire A avec chacun des points «, a', b, b', c, r', on obtient le groupe

nb . ab'

af.

oc . fie'

Cl' c .a'c'

be . bc'

ba.ba'

ca . ea'

cb.cb'

En remarquant que les équations écrites sur la même horizontale ont le même second membre, on a encore

/ ah . ab' a' b . d h'

ac . ac bc.bc' ba . bci

ca . cd

cb.cb' "' c b.c'b'

de.

Enfin, en multipliant entre elles de toutes les manières possibles trois des six équations (3), prises de telle façon que le produit des seconds membres soit égal à i , on obtient

iab' .bc' .cd = — db.b' c.c'a^ ab' .bec d = — d b.b'c'.cn,

^ •ab.bc.ca = — a b .bec a,

ab.b'c.c d^^ — dU .bc'.ca.